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論《周易》對中國古代數學思維模式的影響
論《周易》對中國古代數學思維模式的影響
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  中圖分類號:O1-0 文獻標識碼:A 文章編號:1000 -2804 (2001)01-0062-06
  思維方式與科學實踐活動相伴而行。一方面,科學實踐活動是科學思維方式的最終源泉和動力,它為科學思維方式提供營養,從而促進某種思維方式的形成。另一方面,某種思維方式一旦形成,又會作用于科學,影響以后科學的發展。中國古代數學是在中國古代文化的土壤中生長出來的,是中國傳統文化的一個有機組成部分,其思維方式和理論特征是與整個傳統文化一脈相承的。《周易》這部古老的典籍,作為中國傳統文化的母基,流傳近三千年,長期以來,成為古代知識分子用來觀察和解釋世界的理論依據,在中國古人的精神空間中占據了舉足輕重的地位,其特殊的思維方式直接影響著中國古代數學的思維方式,各種類型的神秘主義思想以其強大的精神力量深刻地支配著中國古代數學哲學的形成和走向,對數學的發展起著決定性的作用。下面試圖通過對《周易》的思維指向和思維形式的初步考察,闡述它對中國古代數學思維形式的影響,進一步揭示數學問題的“李約瑟之謎”。
  《周易》理論的基石是象。所謂象是指:(1)具體的物象。 即自然界存在的各種可為人感知的事物現象;(2)意象。 即從事物現象中提取出來的,代表一類事理的符號或表象。如《易傳》在解釋象時說:“圣人有以見天下之賾,擬諸其形容,而象其物宜,是故謂之象。”“象也者,像也。”《周易》認為,因為象是“遠取諸物,近取諸身”的結果,所以其中“有天道、有地道、有人道”,能夠“通神明之德”、“類萬物之情”,也就是說,通過對象的推演可以把握認識事物的規律。這種以“德”和“情”為橋梁,將萬物之中之同類者相互聯系的方法,就是《周易》通過象來認識和推測事物的思想基礎。這種思想實際上是強調任何事物只要具有同類的“情”和“德”,就具有共同的類別歸屬,換言之,任何“德”、“情”相通的事物,都反映同樣的規律,具有較為密切的聯系和影響。這就是《周易》的基本思維特征。
   一、《周易》思維方式上對中國古代數學思維的影響
  首先,《周易》側重于經驗直觀,不注重理論抽象。由此導引著中國古代數學從思維方式上把重點放在對經驗的總結和對現象的描述上,不注重探究現象背后的原因,導致中國傳統文化里缺乏推演的精神和邏輯的精神。易學在我國源遠流長,幾乎與我們中華民族的歷史同時起步,從最早的文獻記載看,最早記載伏羲畫八卦的要算是戰國時期的學者所著的《易傳》了。《易傳·系辭下》曰:“古者包犧氏之王天下也,仰則觀象于天,俯則觀法于地,觀鳥蓋之文,與地之宜,近取諸身,遠取諸物,于是始作八卦,以通神明之德,以類萬物之情”。所謂包犧氏,就是伏羲。從這幾句話中不難看到,伏羲創作八卦的主要途徑是“仰觀俯察”。觀察是伏羲制作八卦的前提。觀察是直覺反映,是對自然的認識,通過“仰觀俯察”,“近取諸身”、“遠取諸物”,實現“觀物取象”,從而才能“始作八卦”。如前所述,《易傳·系辭下》在談到陰陽兩種符號起源時說:“圣人有以見天下之賾,而擬諸其形容,象共物宜,是故謂之象。”“爻也者,效此者也,象也者,像此者也。”這充分說明了陽爻和陰爻這兩種符號的產生是古代先祖在社會實踐中,通過觀察天地萬物、人類自身并加以模擬的結果,正因為如此,中國古代數學絕大部分處于經驗形態水平上,“許多數學著作以《周易》為張本,如劉徽《九章算術注》序中有:‘昔日包犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術以合六爻之變。既于黃帝神而化之,引而伸之,于是建歷紀,協律呂,用稽道原,然而兩儀四象精微之氣可得而效焉’。在秦九韶的《數書九章》一書中,‘蓍卦發微’成為數學課題之一。”(注:孫宏安.《周易》與中國古代數學[J].自然辯證法研究,1991(5).)
  《周易》的這種思維方式還導致中國古代數學形成了推理和證明過程中的寓理于算、不證自明的直覺思維和非邏輯成分,以及思維方式的模糊性。典型的例子如:趙爽用勾股圓方圖對勾股定理及若干勾股恒等式所作的論說,他僅用了短短五百字和六張附圖,就“簡練地總結了后漢時期勾股算術的輝煌成就。不但勾股定理和其他關于勾股弦的恒等式獲得了相當嚴格的證明,并且對二次方程解法提供了新的意見。”(注:錢寶琮.中國數學史[M].北京:科學出版社,1964.1.)劉徽借助于面積和體積的圖解對開平方和開立方的說明,劉徽運用割補法對整勾股數公式的論證,祖@①利用八分之一牟合方對球體公式的闡說,梅文鼎借鱉@②而論球面三角形的邊角關系,明安圖創割圓密率捷法,運用幾何方法對初等函數級數展開的研究。“還有《九章算術》全書只有問題和解法,而沒有理論證明,書中有些結果還比較粗疏”(注:李迪. 中國數學史簡編[M].沈陽:遼寧人民出版社,1984.1.)。
  此外,趙爽在注《周髀算經》時從一個正方形出發,不斷分割出19個幾何命題。這種研究方法顯然是受了《周易》“易有太極,是生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”的影響。中國古代幾何的方圓術正是通過不斷地分割拼補圓與方的圖形而推導出豐富的幾何內容的。將中國古代幾何的方圓術與歐氏幾何比較就可發現,歐氏幾何在思想上源于西方的本體論,認為世界是由某種不可分的單位組成,那就是點,由點而生線,由線而生面,這是一種組合過程,在組合過程中不斷產生新的圖形。而中國古代幾何則源于“天人合一”的儒家思想,由象征天地之形的圓方不斷分裂,產生出新的圖形,這也是一個分解過程,正是劉徽所謂:“然后兩儀四象精徽之氣可得而效焉”的具體體現。“天人合一”思想容易造成數學研究者的思維定勢,使他們研究數學問題時,始終跳不出《周易》的思維模式。如宋代理學家朱熹曾從數學的角度研究過“大衍之數”,顯示出相當的數學功底。但由于受到《周易》思維模式的影響,始終未能跳出“天地數”、“河洛數”、“天圓地方”等框框,繞來繞去得不到任何要領。最后只好無可奈何地說是“出于理勢之自然,而非人之智力所能損益也。”(注:朱熹.周易本義·易學精華[M].濟南:齊魯書社,1990.1075.)這種思維方式的不足之處還在于容易造成概念、命題、定義的模糊和混亂,使數學實踐與數學理論不能很好地結合起來,容易使數學賴以發展成長的源泉枯竭。
  其二,《周易》側重于模式推理而不注重命題推理,導致中國古代數學思維模式缺乏必要的抽象,難以形成一種研究數學的有效思維方式。即中國古代數學中求“理”的方法,只有歸納法而缺乏推演法。所謂命題推理,就是從一個初始命題出發,按照一定的形式規則,推出一些新的命題,這種推理明確而嚴密,西方哲學家和科學家都普遍使用這種推理形式建構自己的理論。所謂模式推理,就是從一種基本模式出發,按照一定的原則,把有關對象放在這一模式中進行推理。《周易》64卦,就是64個推導模式。從卦象上來看,每一卦都是由兩個三爻畫的八卦重疊而成,這表明兩個事物產生了相互聯系,它們已不是孤立的東西了,從卦與卦之間的聯系去看,卦與卦之間的聯系具有“二二相耦”、“非復即變”的特點。“二二相耦”,即指明了以相鄰的兩卦兩兩為一組,形成32個小組,這是64卦卦序的突出特征。這一特征表明了卦與卦之間的聯系。再從64卦每一卦體的自身結構去看,反映事物運動變化,不僅從卦與卦之間的聯系去展開,而且也從爻與爻之間的聯系去展開。這種關系把整個64卦符號系統構造得更加精微復雜,它們既為人們提供了具有獨特傳統風格的理論依據,也為人們規定了必要的推理原則。受這種思維方式的影響,在中國傳統文化中,數學的價值觀念則是技藝實用而非理性思辯。“中國古代數學的經典著作,是一些具體的實際問題及計算答案的分類和概括。相比之下,數學研究過程或者說數學推理卻受到了極端的輕視,中國古代最輝煌的數學著作《九章算術》對246個數學問題的研究,極其準確地反映了這種現象。”(注:固原師專數學系青年教師討論組.近代數學為什么沒有在中國產生[J].固原師專學報(自然科學版),1993.)為什么這么說呢?這還得從數學與模式的關系說起, 我們知道, 許多現代數學家都傾向于承認數學是研究模式(Patterns)的科學,關于模式的原始概念可追溯到古代的柏拉圖,它泛指反映事物關系(包括空間形式與數量關系)的純粹形式結構。這種純粹形式結構必須是科學抽象的產物,所以理應具有概念上的精確性、簡易性、邏輯可演繹性與普適性。例如,自然數列{1,2,3,…,n,…}是反映離散事物順序計數的數學模式,微積分學是反映變量計算規律的一個大型數學模式。當然,數學中的每條公理、定理、公式、典型的計算方法或程序,以至成型的推理法則(如數學歸納法、超窮歸納法以及康托爾—希爾伯特對角線論證法等),也都是或大或小的數學模式。
   歐洲一位數學大師有句名言:“數學以簡單性為目標”(Matheamtics is for simplicity)。可是, 數學模式的簡易性要求正是由概念方法上的統一性與概括性(普遍性)來體現的,而這又必須通過抽象過程來實現。換句話說,抽象是達到數學模式簡易性目標的必要手段和過程。受《周易》思維形式的影響,我國古代數學重視模式而缺乏必要的抽象,沒有形成研究數學理論的普遍方法論原則。
   二、《周易》從思維指向對中國古代數學思維的影響
  首先,《周易》注重事物的運動變化,不注重事物的靜態結構,它導引著中國古代數學的整體思維。《周易》認為萬物變化的根源在于陰陽對立面的相互作用,即“剛柔相推以生變化”。有矛盾有變化才是吉利,無矛盾無變化則不吉利。《周易》講變化,但矛盾的對立面各自的性質是不變的,陽的屬性是剛動,陰的屬性是柔靜。一切事物都具有陰陽兩種性質,因此,世界萬物都不外動靜兩種狀態。陰陽交感,相摩相蕩,一靜一動。動到了極點就要靜,靜到了極點就變動,動靜是循環的,故朱熹說“動靜無端,陰陽無始”。它認為陰陽的主從關系不能改變。雖然承認事物都在變動,但又認為靜是根本。只有動靜交替才能產生萬物,沒有靜也就沒有動。《周易·系辭上》曰:“《易》,無思也、無為也、寂然不動”。運動變化終歸以不變為基礎,這是《周易》形而上學的特色。“萬物皆數”是中國古代數學的一個重要組成部分,幾乎所有的數學家及數學著作都持這種觀點。《孫子算經》中說:“夫算者,天地之經緯,群星之元首,五常之本末,陰陽之父母,星辰之建號,三光之表里,五行之準平,四時之終始,萬物之祖宗,六藝之綱紀。”宇宙間的一切都可以用數算出來,可見萬物都與數相關聯。唐代數學家王孝通認為:“九疇載敘,紀法著于彝倫;六藝成功,數術參與選化。夫為君上者司牧黔首,有神道而設教,采能事而經綸,盡性窮源莫重于算。”天文學上,我國古人編制了比同時代其它國家先進得多的歷法,提出了西方近代才產生的宇宙演化的先進思想,但對宇宙結構的認識卻一直停留在漢代的水平上,一直沒有建立起宇宙的幾何模型。
  其次,《周易》注重事物的功能和萬物的相互聯系,而不注重事物的實體和構成元素。它導引著中國古代數學獨特的辯證性思維。陰陽是中國古代辯證法的一對基本范疇,也是貫穿《周易》哲學的一條主線,《周易》哲學的重要概念、范疇、命題,以至整個體系都是以陰陽這對最基本的范疇為基礎而展開的,《周易》認為世界萬物均有陰陽兩種屬性,陽代表正面、光明、在上、剛健、尊貴、……,陰代表反面、黑暗、在下、柔順、卑賤。因此天為陽、地為陰,暑為陽、寒為陰,白晝為陽、黑夜為陰,山為陽、谷為陰,……世界萬物無不可用陰陽來表示屬性。以這種理論為指導來考察自然,就是要探索各種事物的功能屬性,而對這種功能屬性的承載實體卻不予探索或刻意去探索。事物的功能性,是與其它事物相互聯系中展現出來的,尤其是與人的聯系中展現出來。這就不可避免地促進中國古代數學只注重實用性、計算性、算法化以及注重模型化方法的特點,中算家以構造精致的算法為己任。通過切實可行的手段把實際問題化歸為一類數學模型,然后應用一套機械化(或程序化)的算法求出具體的數值解,中國古代數學中的一些基礎概念往往由一個可操作的算法導出,就實數域的界說而言,分數是“實如法而一,不滿法者,以法命之”(除法);小數是“微數無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母……”(除法與開方)(注:李繼閔. 劉徽關于無理數的論述[J].西北大學學報(自然科學版),1988(1).)把數學作為“六藝”之一引入教育內容,而不去對對象本身作抽象的、純理論的研究,不講究數學的邏輯體系,很少提到思辯性的要求,這樣,數學理論不可能上升至純知識領域,作為研究抽象理論所不可缺少的普遍方法和原則極少,實用主義成了中國古代數學發展的主要動力。
  在中國古代數學發展的漫長歷史中,應用始終是數學的主題,而且中國古代數學的應用領域十分廣泛,從土地丈量、容積計算、兌率研究、工程施工等具體的實際問題,并不斷進行改進。著名的十大算經清楚地表明了這一點,同時也表明“實用性”又是中國古代數學合理性的衡量標準。
  再次,從足以影響和促成中國古代數學思想的傳統文化和哲學觀念來看,在中國古代數學思想的滋生養成過程中,傳統文化和哲學觀念的力量是顯而易見的。受《周易》以及儒家哲學的影響,倡導“重德性、輕知性”,“經世致用”的中國傳統文化和實用哲學使中國傳統數學囿于實用的圈子,“缺少了推演,缺少了實驗,缺少了西方所發展出來的所謂Natural philosophy(自然哲學)”(注:楊振寧. 中國文化與科學[N].參考消息,2000-03-08.)于是, 以解決實際問題的算法的制定,成為中國數學的根本,成為中國數學賴以存在和發展的基點。儒家的哲學對數學的介入是用數學來解釋其觀點,支撐其理論,如《周易》“八卦”的變演就是基于下列兩種運算的反復:
  (1)R[,1]+R[,2]=N,R[,1]-1≡r[,1](mod4),R[,2]-1≡r[,2](mod4);
  (2)N=N-r[,1]-r[,1]-1;本質上是對數學的依賴。
  中國古代的這種數學思維發展到13世紀,以“天元術”、“四元術”為代表達到頂峰,再向前就缺乏堅實的基礎和動力。而作為數學文化傳播工具的數學著作,在中國古代主要表現為后代學者對前賢作品的注解,這種對數學的敘述及傳播,使得無視數學抽象性及一般研究方法的惡習,成為背叛數學本質的不自覺行為。
  最后,《周易》問世之后,其數字化刻畫世界圖像的思想被不斷地闡發,但其中混雜了許多唯心史觀和“道”、“太極”等虛無縹緲和神秘莫測的東西,使我們從中領悟到中國古代自然哲學體系中強烈的巫術精神,感受到那種智慧與愚昧混合、科學與迷信纏繞的認識困境。“很明顯,這種以虛構、假設、幻想、意念的形式所構筑的精神實體存在為起點,運用簡單的數學規律及其推演所形成的理論體系,由于不具備科學方法所要求的基本條件,只可能是不真實的、主觀臆斷的和巫術化的。”(注:黃秦安.論中國古代數學的神秘文化色彩[J]. 陜西師范大學學報(哲社版),1999(3).)因而,中國古代數學的思維形式帶有強烈的神秘文化色彩。沒有任何跡象表明在神秘的數學與科學的數學之間有怎樣的聯系和轉換機制,兩者之間巨大的斷層使中國古代數學難以形成堅實的基礎,由此留下了中國古代數學思想史一段長長的空白。在這種守舊與無創新、神話與神秘的氛圍和境地中,中國古代數學只能沿著長久的實用主義道路艱難邁進,而成為一種應用數學,且這種應用數學受到了極大的束縛,使學生只習慣于公理系統思維方法,而對充滿著創造力、想象力和開拓精神的算法構造思維方式卻極不熟悉,也不習慣,這種惡習一直延續到了今天,這與西方數學對研究對象采取抽象和孤立的方法而使數學研究生機勃勃大踏步前進的局面形成了鮮明的對照。
   三、結語
  綜上所述,中國古代數學思維的許多特征均可以從《周易》中得到說明和揭示,《周易》對中國古代數學的思維產生了深刻的影響,它得益于數學,又對數學產生了巨大的影響,對中國古代數學家的世界觀和方法論的形成產生了決定性的影響。從積極的方面講,中國古代數學特殊的思維方式是中國古代數學取得舉世矚目成績的重要原因,在現代科學的發展中發揮著巨大作用。從消極方面來講,中國古代數學長期受控于《周易》模式,其思維方式與近代數學產生時所依賴的思維方式不合轍,不可能走出神秘主義所營造的迷宮,登上科學的殿堂而演化為近現代數學。筆者以為,這也是數學問題的“李約瑟之謎”的部分謎底。董光壁先生說:“在當代社會轉向的關頭,認真總結中國科學傳統及其成就并探討其現代意義,已是改進和發展現代文明之需要。”(注:董光壁.中國科學傳統的成就及其現代意義[J].自然辯證法研究,1998(11).)我完全贊同董先生的這個觀點。眼下的當務之急是我們應當實事求是地總結我國古代的科學思想,吸取精華,剔除糟粕。首先,中國傳統數學思維要成為一種有效思維方式,需要同邏輯分析思維結合起來,以邏輯分析思維為基礎,以辯證思維為主導。其次,中國傳統數學思維要在數學研究中發揮應有的作用,必須形成一套系統的、可操作的方法,建立諸如歐幾里得《幾何原本》和牛頓《自然哲學的數學原理》那樣的邏輯分析思維典范和辯證思維的新典范。第三,中國傳統數學思維應從現代科學的理論和成就中汲取營養,把自身不合理成分加以改造,發展成為與現代數學相適應,并能推動現代數學發展的思維方式。
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蘭州大學學報:社科版62~67B2科學技術哲學王汝發/陳建蘭20012001從《周易》蘊含的思維特征和數學思想方法出發,論述了《周易》對中國古代數學思維方式的影響。從積極的方面講,《周易》對中國古代數學特殊的思維方式的形成產生了巨大的影響,使古代數學研究者習慣于從整體性和辯證性等角度來思考問題,使中國古代數學取得了輝煌的成就。另一方面,由于《周易》思維方式的特殊性及其神秘主義色彩,導引著中國古代數學走上了與西方傳統數學不同的發展道路。《周易》/古代數學/數學思維方式/近代數學   I Ching/ancient mathematics/mathematical thinkingstyle/modern mathematics收稿日期:1999-08-28.The Effect of the I Ching on the Anciant MathematicalThoughts  WANG Ru-fa1 CHEN Jian-lan1  (1. Gansu College of Politics and Law, Lanzhou, 730070;   2.Academy of Sciences, Gansu Province, Lanzhou, 730000,China)The present paper is a briefing on the effects of the IChing ( or the Book of Changes) on China's ancientmathematical thoughts. The I Ching contributed to theontological and dialectic thinking style of the ancientChinese mathematicians; meanwhile, it added to a mysticflavor which in time turns the Chinese mathematical studyonto a very different route from the western study.王汝發,甘肅政法學院 基礎部,甘肅 蘭州 730070  陳建蘭,甘肅省科學院 情報資料室,甘肅 蘭州 730000  王汝發(1957-),男,甘肅永登人,教授,從事數學哲學研究. 作者:蘭州大學學報:社科版62~67B2科學技術哲學王汝發/陳建蘭20012001從《周易》蘊含的思維特征和數學思想方法出發,論述了《周易》對中國古代數學思維方式的影響。從積極的方面講,《周易》對中國古代數學特殊的思維方式的形成產生了巨大的影響,使古代數學研究者習慣于從整體性和辯證性等角度來思考問題,使中國古代數學取得了輝煌的成就。另一方面,由于《周易》思維方式的特殊性及其神秘主義色彩,導引著中國古代數學走上了與西方傳統數學不同的發展道路。《周易》/古代數學/數學思維方式/近代數學   I Ching/ancient mathematics/mathematical thinkingstyle/modern mathematics收稿日期:1999-08-28.
2013-09-10 21:17

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