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數學是不可完全的  ——哥德爾的哲學手稿
數學是不可完全的  ——哥德爾的哲學手稿
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  在20世紀邏輯學家和數學家行列中哥德爾是一位具有傳奇色彩的人物。他所作的三大數學貢獻的每一項結果對數理邏輯各分支的發展都是決定性的。自1931年哥德爾不完全性定理之后,數學基礎逐漸演變為數理邏輯各分支的精細研究,同30年代前人們都關心基礎研究的狀況形成對照,數理邏輯愈益成為少數數學家的專門技術領域。可以不夸張地講,哥德爾使數理邏輯發生了革命,哥德爾規定了我們這個時代數學基礎研究的思維內涵。然而,長期以來鮮為人知的事實是,哥德爾不僅是一位偉大的邏輯學家、數學家,還是一位深刻的哲學家。在整個學術生涯中,他只有1929—1942年主要從事數學和數理邏輯的研究,從1942年直到1978年逝世,除了繼續集合論問題思考并傾注5年時間熱衷于相對論外,幾乎大部分時間致力于哲學研究。
  哥德爾生前只發表過5篇哲學論文:《羅素的數理邏輯》(1944)、《紀念普林斯頓200周年數學問題會議評論》(1946)、 《什么是康托的連續統問題?》(1947)(1964年修訂)、《關于相對論與唯心主義哲學之間關系的一點評論》(1949)、《論有窮主義觀點迄今未予應用的一種擴充》(1958)(1972年修訂),他的大部分思想表達在手稿、通信和私人談話記錄中。1981年哥德爾去世3年后, 他的妻子將其遺稿全部捐贈美國普林斯頓研究院。其中包括哥德爾未發表的論文手稿、演講稿、授課講義、各類札記和哥德爾自己編號的100多本筆記(注:哥德爾遺稿已由約翰·道森1984年完成編目,分為12類:①私人信件和科學通信;②商業信函和其他信件;③分專題記錄的筆記本;④演講稿和論文手稿;⑤札記和便箋;⑥其他書寫模糊的草稿;⑦從小學到大學的學歷材料;⑧法律和政治文件;⑨1930—1939年間的財務文件;⑩就醫記錄;①①照片;①②其他。)。當代最有影響的美國哲學家蒯因說:哥德爾手稿的發現堪稱“哲學界一大新聞”,(注:奎因為Kurt G@①del,Unpublished Philosophical Essays所寫的序言,1995,p.7.)它使世人得以更深刻地了解哥德爾在哲學領域的所思、所想、所為。目前《哥德爾全集》已出版1~3卷,其中1995年的第3卷中收錄了他的幾篇重要哲學手稿:《數學基礎研究現狀》(1933)、《關于數學基礎的幾個基本定理及其哲學推論》(1951)、《數學是語言的句法嗎?》(1953/9)、《從哲學的觀點看數學基礎的現代發展》(1961)。這幾篇手稿無疑提供了哥德爾思想研究珍貴的原始資料。
      1《數學基礎研究的現狀》
  在應邀為美國數學會1933年年會準備的報告稿《數學基礎研究的現狀》中,哥德爾首先指出,為數學建構基礎的問題由兩個不同的方面構成,其一是使數學家一直使用的證明方法歸約為最小數目的公理和推理規則;其二是探求這些公理的某種合法性問題,例如,它們是否彼此一致、是否與經驗事實一致。依哥德爾之見,第一方面的問題通過數學的“形式化”已經令人滿意地部分獲解,但第二方面問題的解決其“形勢極端不能令人滿意”。原因在于,如果像形式主義者那樣,以純形式的觀點把數學僅僅看作符號游戲,當然不會產生問題,一旦問到符號的意義時就會面臨一系列困難。它們大致歸為三類:(1)對非構造性存在的看法;(2)對(任意類型的)類的一般看法;(3)選擇公理問題。Kurt G@①del,Collected Works(簡記CW)Ⅲ,p.48.對此三個問題的考察哥德爾引出了他的柏拉圖主義數學哲學立場。這種立場顯然建立在對形式主義、直覺主義以及羅素無類論的批判基礎之上。
  直覺主義者認為,在無窮域中使用排中律導致非構造性存在證明,因此大可質疑。為了消除所有集合論悖論和語義悖論,1905年羅素通過摹狀詞理論,建立了無類論或分支類型論,并于1910年在與懷特海合著的《數學原理》中作了系統闡述。哥德爾認為“按照這一理論,類永遠不能作為真實的對象存在,而且包含這個詞項的命題只有被解釋成一種形式語句、一種談論其他事物的方式時才有意義”。因為羅素堅持“禁止惡性循環原則”:“總體不能包含只有通過這個總體,或者涉及,或者預設這個總體才能定義的成員”。數學中符合這一原則的定義稱為直謂定義,違反這一原則的稱為非直謂定義。
  哥德爾指出,使用無窮域中的排中律不僅產生非構造性存在證明而且導致非直謂定義。這種定義預設了獨立于我們的知識和定義而存在的所有性質的總體。如果承認這種預設,非直謂定義方法無可質疑,“刻畫一個無窮總體中的特殊元素就像談論一個城市中的最高建筑物一樣無可非議”。(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)并且哥德爾斷言,“如果把我們的公理解釋成有意義的命題,必然預設一種類型的柏拉圖主義,它不可能令任何批判的頭腦感到滿意”。(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)況且非直謂定義已經擴大到實數理論中“從未導致任何矛盾”。當然,“如果把性質和總體僅僅看成由定義生成的肯定包含惡性循環”。這里,哥德爾表達的數學柏拉圖主義立場是鮮明的,如果把我們的公理解釋成有意義的命題,承認非直謂定義,必定預設獨立于我們而存在某個總體,就必然要不以人的意志為轉移接受一種柏拉圖主義。這里所謂“批判的頭腦”顯然是指布勞威爾和海丁等直覺主義者。仔細閱讀1933年報告手稿,通篇都能感受到哥德爾以譏諷的口吻表達他對形式主義和直覺主義的批判。
  哥德爾向來以數學中的柏拉圖主義者著稱。晚年曾聲稱從1925年起就是一個數學實在論者。但1933年以前的文獻表明他的這種立場并未得以公開的系統闡發。克勒在《哥德爾與維也納學派:柏拉圖主義反對形式主義》中認為,哥德爾從30年代早期就持有堅定的柏拉圖主義立場這一結論“沒有證據支持”。馬丁·戴維斯、菲弗曼、帕森斯都曾提出疑問,認為哥德爾30年代與他中晚年時期所表達的數學哲學立場不一致。(注:C.Parsons,1995,pp.49~50.S.Feferman,1986,見G@①del,CWI,P.31,CWⅢ,P.40.)然而,就我們的考察表明,哥德爾在1933 年報告中首次給出“柏拉圖主義”一詞。如果將他30年代早期在某些特殊場合所表達的思想與40年代后公開闡明的觀點和手稿中的立場聯系起來看,這些懷疑是沒有根據的。1933年報告可以看作他在30年代早期就已經采取堅定的數學柏拉圖主義立場的明證。同時可以得出結論,從那時起到70年代,哥德爾的思想從未發生重大轉折,其強硬的柏拉圖主義立場可以說是一以貫之的。
      2 《關于數學基礎的幾個基本定理及其哲學推論》
  1951年12月6日在布朗大學召開的第25 屆吉布斯紀念講座上哥德爾作了《關于數學基礎的幾個基本定理及其哲學推論》的報告,著重闡明他的不完全性定理的哲學意蘊。依哥德爾之見,雖然20年過去了,不完全性定理的哲學意義并未獲得充分討論。
  哥德爾首先表述了由定理揭示的他稱之為“數學的不可完全性”(incompletability)或“不可窮盡性”(inexhaustability)的深刻本質:第一不完全性定理表明,無論選擇什么樣的良定義的公理和推理規則的系統,總存在該系統能夠表達但由系統的公理和推理規則不能判定的丟番圖問題。第二定理表明,對任何良定義的公理和推理規則的系統,如果假定這些公理和推理規則對于導出關于整數的有窮算術是充分的,那么斷言該系統一致性的命題是不可證的。哥德爾的論證是,人們不可能建立一個一致的包括初等數論的形式系統并一致地聲稱,他認識到這個系統的公理和推理規則是正確的而且相信它囊括了全部數學。因為任何一個認為把握了公理和推理規則正確性的人必定承認也把握了它們的一致性,但由不完全性定理,這些公理的一致性在該系統中不可證。因此這個人就在承認他把握了在這個系統中不可證的某些東西的真理性,也就必然得出這個系統沒有包括全部數學,即數學是不可完全的。(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)
  哥德爾還考慮了某些人由不完全性定理可能得出如下錯誤推論:人類心智等價于一臺有窮機器,而且還是一臺不能完全理解它自身功能的機器。而他認為由不完全性定理,如下數學上的選言命題才是必然推論:或者在下述意義上數學是不可完全的:它的自明的公理不可能包含在有窮規則中,即人類心智無限超越任何機器;或者存在絕對不可判定的數論命題。(注:按照王浩的說法,哥德爾認為,希爾伯特反對第二選言支,聲稱“數學中沒有不可知”是正確的,否則就意味著人的理性全然無理性,一方面提出理性不能解答的問題,一方面又斷言只有理性才能解答這些問題。同時,晚年的哥德爾至少認為有理由接受第一選言支:人類心智勝過機器。對此可參見王浩,1974,pp,324~326和G@①del,CWⅡ1972a.)與此相應的哲學推論是:或者人類心智的活動不可能歸于大腦的活動,因為大腦的所有行為不過像一臺由有窮多部件(即神經元和它們的連接)組成的有窮機器;或者數學不僅僅是我們的創造,數學對象和數學事實是獨立于我們的精神活動和意愿而客觀存在的。在哥德爾看來,承認第一點就將否定將人心等同于機器的生物機械主義;承認第二點我們“就必須接受由數學基礎的現代發展獲得支持的某種形式的柏拉圖主義或數學實在論立場”。(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)當然,不排除兩個選言支都真的情形。
  隨后哥德爾以數學的不可完全性為論據對數學中的唯名論,特別是“數學僅僅是我們的自由創造”和“數學是語法的約定”這兩種觀點進行批駁并且聲稱,如果對這里所討論的概念進一步嚴格化之后,我們的結論應當是“柏拉圖主義是唯一站得住腳的立場。”即“數學描述了一種非感性的實在,它的存在不依賴于人類心智的活動和意愿,它只能被人類心智所感知,而且這種感知恐怕還是不完全的”。Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)
  哥德爾的吉布斯演講對長期困擾人們的不完全性定理給出了他自己的哲學解釋,指出了準確而深刻地理解定理哲學義蘊的本質之點,同時還借助數學的不可完全性這一全新的證據,通過對唯名論的批判提供了對于數學柏拉圖主義立場的一種辯護,盡管他的結論表面看來是一種推論式的。
      3 《數學是語言的句法嗎?》
  吉布斯演講之后,哥德爾用了兩年時間修改演講稿,準備在《美國數學會通報》上發表,但修改的工作量很大,而且哥德爾發現很難清晰而確切地表達演講中的斷言,特別感到棘手的是對于數學中的語言約定論的批判。因此這一問題當時成了他最為關注的焦點,以至他終于放棄改寫演講稿,轉而去寫《數學是語言的句法嗎?》一文。(注:Dawson,JW,Jr.1995,p.200.)
  1953年,哥德爾再次應謝爾普之邀為《在世哲學家文庫》中的《卡爾納普哲學》卷撰稿。(注:哥德爾曾三次受謝爾普邀請為此文庫中的《羅素》卷、《愛因斯坦》卷和《卡爾那普》卷撰稿。)謝爾普建議他以“卡爾納普與數學本體論”為題寫一篇25—40頁的文章,但哥德爾表示只想寫一篇“對數學本質的唯名論觀點的評論”短文。1953—1959年他花費六年時間完成了“數學是語言的句法嗎?”這一題目的六個版本。六篇謄寫清晰的文章完整地保存在他的遺稿中。1995年《哥德爾全集》第三卷收錄了其中的第三稿和第五稿,同年羅德里奇·孔塞格拉編輯的《哥德爾哲學手稿》收錄了第四稿和第六稿。通讀這幾篇手稿可以看出,哥德爾的立場沒有任何實質性變化,目的都是對于邏輯實證主義者,特別是漢斯·哈恩和卡爾納普等人主張的數學的語言約定論給予深刻而嚴厲的批判。
  “數學是語言的句法”是卡爾納普以及維也納學派對數學本質的一種概括。1930年前后,石里克、漢斯·哈恩和卡爾納普極大地受到維特根斯坦的影響,形成了關于數學本體論中被哥德爾視為“唯名論和約定論相融合”的語言約定論觀點。按照這種觀點,如卡爾納普所說,“數學是不含內容、不含對象的輔助語句系統”,數學命題不是對事件域中事件狀態的描述,而完全可以歸約為語言的句法,即數學定理的有效性僅由某些使用符號的語法約定的推論確定。事實上,卡爾納普在1937年的《語言的邏輯句法》一書中就是試圖實施把數學歸約為語言句法的語法方案。
  在第五版中,哥德爾把語言約定論歸納為如下三個基本論題:(1)邏輯和數學命題僅僅是支配符號規則的產物,數學直覺可由約定代替;(2)數學是不含內容的,不存在數學對象也不存在數學事實;(3)由于數學命題不含內容,關于他們的語言約定不可能被任何可能的經驗證偽,因此數學的語言約定論與嚴格經驗論一致。哥德爾以他強有力的三個論據:數學的不可完全性、數學內容和數學直覺的不可消除性以及數學與自然科學的可類比性(注:參見劉曉力的《哥德爾對邏輯實證主義的批判》,載于《自然辯證法研究》,1997-(1)。),對這些論題一一給以嚴厲的批駁,并且在第六版中宣稱,“語言約定論立場的任何哲學斷言都是站不住腳的”。
  《數學是語言的句法嗎?》歷經六年數易其稿于1959年完成。2 月份哥德爾卻突然致信謝爾普宣布不想發表他的文章了。信中陳述的理由是,第一,完稿之時已經過了卡爾納普向作者作答的時間,如果沒有卡爾納普答復發表文章對大家都不公平,也難以向世人交代。第二,哥德爾指出,“我完成了這一題目的幾個版本,但對哪一個都不滿意。按照我自己的意愿作出嚴厲斷言或強硬論證是不難的,但我發現這一題目與哲學的基本問題之一,概念及其關系的客觀實在性問題密切相關,要想徹底闡明它比我料想的要困難,而且以普遍持有的偏見,發表目前只完成了一半的工作將弊大于利。”(注:Warren Goldfarb,Introductory note to * 1953/9, G@①del,CWⅢ,p.324.)
  哥德爾1924年入維也納大學學習,1926年起參加維也納小組活動,并且與小組領導人私人關系密切,因此長期以來哥德爾一直被看作維也納學派成員,然而他從一開始就不贊成邏輯實證主義的觀點也從未在公開場合表達過相反的見解,對當時的這一官方立場一直保持緘默。《數學是語言的句法嗎?》這篇手稿無疑第一次提供了系統批判邏輯實證主義的有力論證,哥德爾自然預料到來自反對勢力的壓力,依其個性他并不想在生前引起大的爭論,同時按照王浩的解釋,他大概發現卡爾納普的著作中有某種跟他本人層次不同、類型不同的準確性,難以設計一種令雙方都滿意的共同語言,使他自己的論證令對方心悅誠服,因此這篇論戰性極強的文章直到1995年才與世人見面。
      4 《從哲學的觀點看現代數學的發展》
  1961年4月哥德爾成為美國哲學會會員。 有理由斷定《從哲學的觀點看現代數學的發展》是為1963年會員大會準備的一篇(未作演講的)演講稿(注:Dagfinn fΦllesdal,Introductory note to * 1961, G@①del,CWⅢ,p.364.)。演講稿的目的是以哲學的觀點評述20世紀數學基礎研究的狀況,并試圖將其納入一般哲學框架。
  哥德爾首先把各種哲學流派依據它們與形而上學(或神學)的親疏劃分為左右兩方,左方是懷疑論、唯物主義、經驗主義、實證主義和悲觀主義;右方是唯靈論、唯心主義、先驗主義、神學和樂觀主義。哥德爾顯然贊同右傾立場。依他之見,自文藝復興以來,哲學的發展不是從某一單線上而是整體上從右傾立場轉向了左傾立場。“如果這種偏執的轉向還沒有使人感受到已經侵入數學觀中真是一個奇跡。”哥德爾所指的這種偏執的轉向無疑是指經驗主義和實證主義傾向。在哥德爾看來,數學是一門先驗科學,因此它總有與文藝復興以來的時代精神,即數學中的經驗主義、實證主義相背離的傾向;同時它雖然“深陷高度抽象之中”,但就目前而言其基礎卻具有從未有過的確定性,因此也遠離懷疑論。哥德爾認為,20世紀初由集合論悖論引起的所謂“數學危機”顯然被經驗論者和懷疑論者夸大了,并且“拿來作為左傾膨脹的借口”,認為悖論的出現表明數學內部出現了矛盾。依哥德爾之見,“這些矛盾遠離數學而更具哲學意義,同時任何一個了解數學的人都清楚地知道,我們已經以完全令人滿意的方式解決了它們。(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)”
  在演講稿中,哥德爾更多的是指明,真理應當介乎左右傾之間或二者的有機結合。因為依老式的右傾哲學觀,數學代表一種完全的真理體系,“它的每一個精確表述的是或否的問題必定有一個確切答案”。然而由不完全性定理,這一真理體系不可能訴諸公理集和形式推理規則獲得其完全性。同時,按照流行的左傾哲學觀,作為出發點的數學公理的真理性不可能由經驗證實,因而由它們所得出的結論只具有假說的意義,這種推理只能看成是按照某種規則所作的一種符號游戲。但是由不完全性定理,不借助抽象概念僅僅使用處理符號組合的工具不可能實施數學系統一致性的證明。因此哥德爾主張,不能無視現代數學的新進展盲目背棄信仰去迎合時代潮流,而應當一方面堅持數學知識的確定性,一方面堅信理性提出的問題理性自身能夠清晰地予以解答。因此“正確的觀點對我來講似乎應當是,真理位于左右傾哲學觀之間或者是二者的結合。”這種結合意味著數學的確定性不能僅僅借助經驗證實或演繹證明獲得,而要通過加深理解抽象概念,通過清晰闡釋抽象概念的意義實現。出乎意料的是,哥德爾認為,“目前有一種科學的清晰闡釋這種意義的系統方法,這就是胡塞爾的現象學方法,”G@①del,CWⅢ,p.383.據王浩和Dagfinn FΦllesdal,哥德爾自1959年開始研究胡塞爾達10年之久,并擁有胡塞爾所有的重要著作。在1961年這篇演講稿中哥德爾花費大量筆墨對胡塞爾的工作給以高度評價,主張借助現象學方法對我們所需要的抽象數學概念進行分析并發展我們的數學直覺,超越數學形式系統的局限去發現越來越多自明的新公理,以解決數學中每一個清晰提出的問題。
      5 數學是不可完全的
  哥德爾的幾篇哲學手稿中明顯貫穿著一條主線,借助由不完全性定理揭示的數學不可完全性的深刻本質,通過對當時占統治地位的幾大數學觀:邏輯主義、形式主義、直覺主義和邏輯實證主義的批判性反思進一步闡述自己的數學哲學立場,并以全新的證據為柏拉圖主義數學觀提供系統辯護。在這一過程中也表達了他的理性主義和客觀唯心主義的一般哲學觀。(注:晚年哥德爾在與王浩的談話中,將自己的哲學觀概括為“理性主義的、唯心主義的、樂觀主義的和神學的”。Wang Hao,1995.)
  哥德爾一生最為關注的三大數學問題是,數學的不可完全性;數學形式系統的一致性和一致性證明;尋求解決數學基礎核心問題的集合論公理。后兩個問題事實上與第一個問題密切相關。正如他自己所言:“我的所有元數學結果都是圍繞數學的不可完全性或稱數學的不可窮盡性問題展開的,”(注:Godel,CWⅢ,p.49~50、50.308~309、308~312、322~323、376~379、305.)而且每一項結果之后都伴有長時間深刻的哲學反思。一方面,正如我們在手稿中所見,柏拉圖主義數學觀被他視作這些數學結果的哲學推論;另一方面在致王浩的信以及同王浩晚年的談話中又指出,這種數學觀是他建立一系列數學結果的決定性助探原則;同時在多種場合他還強調,柏拉圖主義數學觀可以從以上兩點獲得證據支持。(注:對此可參見 Wang Hao,A Logical Journey:From G@①del To Philosophy,The MIT Press即將出版.)因此,哥德爾對數學的不可完全性本質所作的深刻而獨立的反思是我們理解哥德爾數學哲學思想的一條基本線索。
  結合生前發表的哲學論文中的思想可以看出,20年代后期哥德爾就已經持有數學實在論立場,1933年首次表示贊成柏拉圖主義數學觀,1944年和1947年借評價羅素數理邏輯的機會并通過連續統假設這一具體問題以數學實在論的術語系統闡述這種數學觀,聲明不僅在數和集合的基本層次上承認數學實在論,而且將這種實在論拓展到類和概念上,堅信存在一個客觀的與物理世界相分離的抽象概念的世界,主張對這些概念的理解應更多的訴諸直覺。早在1929年哥德爾就已經意識到,由于數學的不可窮盡性,為了克服數學形式系統在表達力和判定力兩方面的局限“必須不斷從直覺之泉汲取養分”。(注:哥德爾與卡爾納普1929年的談話,見Wang Hao 1987,p.51.)在1944、1958和1964年的幾篇文章中他對數學直覺問題作了深入分析,同時指出,為了把握高度超窮的客觀數學真理和抽象數學概念,必須擯棄康德的先天直覺和布勞維爾的構造性直覺而接受等級越來越高的抽象數學直覺,這種直覺在數學中有著不可替代的認識論作用。
  哥德爾的數學哲學在他的整個哲學中占據核心位置,也是其中闡述最為系統且內涵豐富的部分。如果說哥德爾公開發表的論文主要集中于闡述自己的數學哲學立場,手稿則更側重在哲學爭論中從一個全新的視角,特別是從數學的不可完全性的本質出發對這種立場提供強有力的辯護,雖然這種辯護并未達到令他自己滿意的程度。這恐怕也是他生前未發表這些手稿的真正原因。以上幾篇哲學手稿無疑提供了理解他的整個哲學思想全新的視界和更為廣闊的理論背景,也使我們通過了解哥德爾在哲學爭論中所持仗的理論依據進入其思想的更深層次。近年來,哥德爾研究日益受到西方學界的關注,隨著各類手稿的陸續公布我們相信哥德爾思想潛在的哲學價值和科學價值將獲得更深入的研究。
自然辯證法研究京21~25B2科學技術哲學劉曉力19981998數學的不可完全性是哥德爾不完全性定理揭示的深刻的數學本質。由此引發的哲學反思是哥德爾建立柏拉圖主義數學哲學的堅實基礎,同時在各種哲學爭論中哥德爾都以這一哲學義蘊空前深刻的數學結果為自己的立場辯護。本文從數學的不可完全性的全新視角,對1995年公布的哥德爾的幾篇重要哲學手稿進行評述,力圖說明其數學柏拉圖主義立場是一以貫之的。劉曉力,女,1954年生,哲學博士,內蒙古大學哲學系副教授。·郵編:呼和浩特 010021 作者:自然辯證法研究京21~25B2科學技術哲學劉曉力19981998數學的不可完全性是哥德爾不完全性定理揭示的深刻的數學本質。由此引發的哲學反思是哥德爾建立柏拉圖主義數學哲學的堅實基礎,同時在各種哲學爭論中哥德爾都以這一哲學義蘊空前深刻的數學結果為自己的立場辯護。本文從數學的不可完全性的全新視角,對1995年公布的哥德爾的幾篇重要哲學手稿進行評述,力圖說明其數學柏拉圖主義立場是一以貫之的。
2013-09-10 21:20

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