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黃金分割率的哲學意蘊
黃金分割率的哲學意蘊
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  在科學、藝術和哲學的殿堂里,時常有一個幽靈般的影子,漂浮若定,時隱時現,或讓人拍案驚奇,或讓人掩卷遐思。她,就是我們通常所說的“黃金分割率”。十七世紀德國偉大天文學家開普勒曾經說過,幾何學中有兩件珍寶:一是勾股定理,二是中外比(即黃金分割率)。如果說第一件是黃金,那第二件就是寶石。在他之前的意大利數學家帕契奧里為黃金分割列出了一大堆優點,他寫到:“黃金分割對我們的作用是:一、實質性的;二、特殊的;三、無法表達的;四、無法解釋的;……”①確實,我們對黃金分割率的解釋是很不夠的。我們較多的是在藝術和美學的領域里加以運用,而對其本體論和方法論方面的開掘和闡釋還遠遠不夠,對于自然界是否存在這樣一個統一的規律,如果有,又怎樣把這樣一個客觀規律應用于我們的實際生活中,使我們能夠創造出一個更符合于“宇宙大美”的生存空間,乃是一個值得深入探究的課題。本人未有遑論上述議題之設想,而只是側重于從本體論和認識論方面闡明黃金分割率的哲學意義。
      一 黃金分割:一個不斷被發現的王國
  所謂黃金分割率,是指事物的各部分間的一種數學比例關系,即將一整體一分為二,較大部分與較小部分之比等于較大部分與較小部分的和與較大部分之比。用公式表示為:設A>B,則A∶B=(A +B)∶A,得結果為1∶1.618。也就是說某一線段之區分為0.618長和0.382長兩段,前者為“大段”,后者為“小段”,其數值為“黃金值”。如果用整數表示, 即是70∶113,近似于5∶8。不過,有不少人從大數的角度,認為2∶3也是黃金分割的近似值。
  黃金分割率的發現最早可追溯到古希臘畢達哥拉斯學派。該學派在“美是和諧與比例”以及可公度比即是美的思想指導下,潛心研究各種幾何多面體,尤其是四面體和十二面體,并得出了那有名的包含黃金分割率的神秘標記(Pontalpha)。 ②而古希臘幾何學家歐幾里得最先完美地論證了黃金分割率。他在劃時代的《幾何原本》一書中用平面幾何的方法證明:分割一已知線段,使整段與其中一分段所形成的矩形等于另一分段上的正方形。
  歐洲中世紀時期,著名的意大利數學家斐波那契(約1170—1250年)在《算盤書》中提出了舉世聞名的趣題:“如果有一對兔子每月生一對兔子(雌雄各一),生下的一對新的兔子從第三個月開始生兔子,試問一對兔子一年能繁值多少兔子?”這一趣題引出了著名斐波那契數列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,其特點是u=u[,n-1 ]+u[,n-2](n≥3),即從第3項開始,這個數列的每一項,都是它前兩項之和。而這個數列有一個重要的性質,每前后兩項數值之比,恰好為黃金分割率的近似值。黃金分割率與斐波那契數的這種內在關聯,使它具有一種特殊的神秘感與迷人的魅力,這使得包括文藝復興時期的數學家帕喬里在內的數學家們為之傾倒。帕喬里在其《神秘的比例》一書中認為世間一切美的事物,都必須服從黃金分割率這個神妙的比例法則。事實上,在文藝復興時期,黃金分割在繪畫、雕塑、建筑等造型藝術中得到了廣泛而成功的應用。包括列奧納多·達芬奇這樣的藝術大師在內的許多藝術家都醉心于從機械、光學、人體解剖等中找出比例法則。他們特別注意按照黃金分割原理,采取“單眼”攝物的近距透視法則來自覺構造圖形。可以說,文藝復興時期,幾何學是同藝術創作緊密結合在一起的。
  值得注意的是,黃金分割率不僅體現于數學和藝術領域里,而且體現在經驗科學領域里。天文學家開普勒(1571—1630)繼承了畢達哥拉斯、柏拉圖的思想傳統,堅信宇宙是和諧統一的,如同上帝彈奏的交響樂一般。他在研究太陽行星運動規律的過程中,發現了著名的行星運動三定律。1619年,他出版了《世界的和諧》一書。差不多與開普勒同時,蘇格蘭的數學家和天文學家耐普勒爾(1550—1617)于1614年出版了《論述對數的奇跡》一書。在書中,開普勒的行星運動第三定律被表述為更為簡單美妙的公式:
  3lgD=2lgT
  如果我們聯系到斐波那契數列,耐普勒爾的對數公式可換算為:
  2/3=lgD/TgT=0.66
  這是黃金分割的近似值。1766年,德國天文學家提丟斯根據一些已知的行星數據,發現當時已知的六大行星與太陽的距離似乎有一定的規律性。1772年,天文學家約翰·波得進一步改進和完善了行星和太陽之間的距離的經驗公式,這個公式被稱作“提丟斯—波得定則(Titus —Bodelaw)”。它表達為:離太陽由近到遠計算, 行星至太陽距離可近似地表示為
  a[,n]=0.4+0.3×2[n-2](天文單位)
  一個天文單位為地球到太陽的平均距離,n=-∞,2,3,4,…,10。按上述公式計算所得的值與九大行星和谷神星(小行星帶的代表)的實際觀測值基本上符合得較好。之所以符合較好,是因為這個定則部分地蘊含著黃金分割原理(見表)。筆者計算了兩相鄰的行星到太陽距離的比值,發現相鄰兩個行星的比值的平均值為0.5943。如果考慮括號里面的數字,那么其平均值距黃金分割的精確數值0.618相差不太遠。
  (表)太陽系行星分布與黃金分割(單位:天文單位)
行星       水星  金星  地球  火星  谷神星  木星項目(天文單位) 0.387  0.723  1.000  1.524   2.7   5.203 觀測值理論值   0.4   0.7   1.0   1.6    2.8   5.2正分割   0.387  0.626  1.013  1.6386  2.6510 6.9384                       (4.2888)逆分割   0.3966 0.6415  1.0376 1.6784  2.71489 7.103                       (4.391)距太陽距離 58    108   158   228        779(10[6]公里)相鄰兩星  0.58   0.537  0.72  0.65   0.54   0.53 比值行星       土星    天王星    海王星    冥王星項目(天文單位)  9.539    19.191    30.061    39.529 觀測值理論值    10.0    19.6     38.8     77.2正分割   11.225    18.1598    29.38     47.53逆分割   11.4895    18.5846    30.0611    47.724距太陽距離 1430     2870     4500     5900(10[6]公里)相鄰兩星  0.489     0.498    0.637     0.7627 比值
  注:正分割常數0.618/0.382=1.6178; 逆分割常數0. 382 /0.618=0.618123。
  十九世紀,“美在比例”的古老命題,在新的學科背景下再度崛起。德國哲學家、美學家蔡辛(1810—1876)試圖給古希臘波魯克雷斯創導的黃金分割思想奠定科學的理論基礎。他于1842年發表了《人類軀體平衡新論》一書,正式提出“黃金分割”原理。1855年他又發表《美學研究》一書,進一步對黃金分割問題進行理論闡述。他發現人的肚臍正好是人體垂直高度的黃金分割點;人的膝蓋骨又是大腿和小腿的黃金分割點;人的肘關節則是手臂的黃金分割點。如果從嫩葉的頂端看下去,常可以看到葉子按螺旋線上排列的距離也服從黃金分割,它是人和動物形態的一個構造原則,是解開自然美和藝術美奧秘的關鍵。另一位德國哲學家、實驗心理學家費希納(1801—1887)把實驗的方法引入美學中。他曾以各種比例的書、窗、牌和其他日用品,對很多人進行美的心理測試。結果發現,在各種圖形中,大多數人并不喜歡美學家十分推崇的正方形, 而是喜歡符合黃金分割原理的長方形。 美國美學家柯克(1867—1928)熱衷于在文藝復興時期的大畫家們所作的畫中尋找黃金分割原理的印證。他在《生命之曲線》一書中寫道:“‘黃金分割’可以說研究的是形態而非功能,是形態學而非生理學。所以Φ數列就意味著在考慮機能和生長上、在正確理解形式及其比例上都是根本的。它暗示著生命原理和美的原理之間的某些關系,如果深究黃金分割這兩方面的原理,則這兩方面的原理都會得到說明。”③柯克文中所說的Φ這個無限數列為:
  附圖B29i01.JPG
  不僅西方人,東方人對黃金分割率也有獨到的貢獻。在中國,古代思想家已經天才地猜測到黃金分割現象。這集中體現在古代哲學典籍《周易》及“河圖”、“洛書”中。
  清代著名經學家江慎修在其《河洛精蘊》一書中,認為上古“河圖”中已經蘊含著精確的黃金分割值。他將其稱為“神分線”。他將“河圖”中宮十數為股,五數為勾,然后各自自乘,再開方得弦即:
  5[2](勾)+10[2](股)=11.18[2](弦)
  再 5(勾)+11.18(弦)=16.18(勾弦和)
  11.18(弦)-5(勾)=6.18(勾弦較)
  10(股)-6.18(勾弦較)=3.819
  這樣,以16.18(勾弦和)為長
  則6.18(小段)/10(大段)=0.618
  其中16.18(勾弦長)×6.18(勾弦較)=99.99
  則6.18(小段)/10(大段)=0.618
  10(股)×10(股)=100
  若以10(股)為長
  則3.819(小段)/6.18(大段)=0.6179
  其中10(股)×3.819=38.19
  6.18×6.18(勾股較)=38.19
  如是,江慎修說:“八線表半經用全數如十,則勾弦較六一八0 三三九,即十邊三十六度之通弦。得十邊,即可求五邊七十二度之通弦,其列率即《洛書》三率連比例之理。其所得十邊通弦之數,實于五與十,而五十即《河圖》之中宮,至平中有至奇焉。西人秘惜其法,謂此線為神分線,豈知神奇即在目前哉?④關于這一點,近年又有人將“河圖”與古埃及金字塔結合起來研究。認為埃及金字塔的“0.63636 ……”的比例值同樣存在于“河圖”中。⑤另外,在《尚書·洪范》和《黃帝內經》中記載有五行思想。其中,揭示了五行相生相克的關系,即水生木,木生火,火生土,土生金,金生水、水復生木,此“生生”之義也。反之,謂之相克,如水克火,火克金,金克木,木克土,土克水,水復克火等。而這種五行相生相克的網絡變化模式表達為圓中的五角星是再恰當不過的(見圖)。由圖中可以看到,圓內五角星的五條邊在相交過程中,每條邊的交點構成美妙的黃金分割圖式。而且,以一條長邊分割這個圓,其面積正好被黃金比值分開。當然,筆者尚未在古代典籍中查到五角星圖案(圓內五角星圖案是近代人用以直觀表達五行思想的構思),但五行思想中蘊含的黃金分割思想是不言而喻的。
  我們是否可以推斷,古代中國沒有直接發現和表述黃金分割的思想,是不是與幾何學的不發達有關呢?
  附圖B29i02.JPG
      二 黃金分割:不僅僅是“美”的規律
  十九世紀以前,黃金分割問題主要是作為美學和藝術的對象而加以思考的。當然這不排除對黃金分割原理作廣義的理解(如柯克)。但是,進入二十世紀隨著自然奧秘的不斷被發現,科學資料的積累以及先進計算手段的運用,黃金分割原理突破了原來的天地,在更為廣闊的領域里約隱約現,似乎暗示人們,它不僅僅是構造美的法則,也是宇宙中普遍存在的、事物發展變化的一種內在法則。茲舉如下:
  (一)生物科學。植物學家研究了自然界中花朵的花瓣數目,發現大多數是3,5,8,13,21,34, 有人甚至耐心地數過一朵重瓣芍藥花,發現它有235瓣。還有人數過所謂“米切爾馬斯花”,它剛好是157瓣,其中13瓣與其余的144瓣顯著不同,特別長并卷曲向內。 這些數字同“斐波那契數”非常接近,符合黃金分割原理。另外,如果從嫩葉的頂端往下看去常可以看到葉子按螺旋線排列,而葉子在螺旋線上的距離也服從黃金分割原理。還有,向日葵盤上的種子排列呈雙螺旋狀,也符合斐波那契數和黃金分割原理。在動物中,雞蛋蛋黃的位置正處在 0.618的近似值上。蜜蜂的六邊形蜂巢其底都是由3 個全等的菱形拼成的,而且,每個菱形的鈍角等于109°28’,銳角都等于70°32’, 而角度之比等于0.64,非常接近黃金分割值。 這是十分有趣的。 李后強(1988)根據張穎清發現的穴位分布全息律,計算出分維值D[, f] ≈0.631,研究結果揭示了人體穴位是沿著若干條對應拓撲維數為零的點和對應拓撲維數為1的線之間的復雜途徑而分布的。 這對于探討和解釋中醫的針炙原理有重要意義。他還根據桑迪(M.Sando)于1981 年提出的受限擴散凝聚過程(DLA)模型, 用計算機模式模擬了具有分形特征的毛細血管的分布,計算出其在二維歐氏空間中D[,f]≈ 1.68,在三維空間中 D[,f ]≈2.4。⑥在生態系統中,生態學家采用邏輯斯蒂差分方程來描述種群的增長和下降過程。在這個高度抽象的模型中,如果把種群表示成0與1之間的一個分數,0表示絕種,1代表可以設想的最大種群,那么取一初值,一個增長率,就可計算出下一年的種群數,例如取r 值2.7 以及初始種群0.2。1減去0.02是0.98,乘以0.02得0.0196,再乘以2.7 得0.0529。經過可編程計算器運算,種群的增長和下降越來越接近一個固定的數,即0.6328至0.6296,這個數服從于黃金分割。⑦生物種群具有某種“生命潛能”,這種潛能在黃金分割率上下維持著。
  (二)地球科學。地球是我們人類賴以生存的星球。從地球的運動、地球的熱輻射吸收、水陸的比例以及冰川活動等都可以找到許多符合黃金分割率的材料。例如,地球自轉赤道面與公轉軌道面不相互重合,構成一定的交角,被稱為黃赤交角,即23°26’。筆者根據正弦定律求得:
  Sin23°26’=0.3977
  這正是黃金分割率中由中點到末點的值。又如,把所有形式的輻射,包括進入的和發出的兩種,在給定的單位面積上總計起來,我們看到,每平方厘米所接收的太陽能的總量將取決于兩個因素:太陽射線到達地球的角度和暴露于射線的時間長短。而實際上,地球大氣中的氣體分子會引起可見光射線向四面八方偏折。使我們感到驚訝的是,大氣反射掉的太陽輻射能約占地球太陽輻射能的35%,地球吸收的輻射能約占地球太陽輻射中的一半多(約占65%),最后到達地面或是大洋,在那里作為熱吸收。而這個值與黃金分割值十分接近。從地理分布上來看,以日為單位,在低緯度和中緯度,輻射平衡為正值,自緯度38°至極地輻射收支為負值,因而緯度38°為一平衡點。而這個值與黃金分割值相去不遠(約為0.42)。能量輻射的變化也大致在這個范圍以內。由于太陽輻射能是地球上能量的主要來源,因而地球上一切地理現象的變化都表現出不同程度的“黃金分割”。比如,地球上劃分為熱帶、南北溫帶和南北寒帶,其中熱帶的寬度為23°26’×2,即46°52 ’的低緯度地帶。這個地帶得到最強烈的太陽光輝。它的面積在地球總面積中約占39.8%,其它四個帶占60.2%。再如,大陸的分布在南北兩個半球是不對稱的。具體來說,在北半球,陸地占39.3%;海洋占60.7%;在南半球,陸地占19.1%,海洋占80.9%;在東半球,陸地占38%,海洋占62%;在西半球,陸地占20%,海洋占80%。如果以經度0°、北緯38 °的一點,和經度180°、南緯47°的一點為兩極,把地球分為兩個半球, 那么,在這兩個半球之間,海陸面積的對比達到最大程度。陸半球的中心是經度0°、北緯38°的一點,位于西班牙的東南沿海; 水半球的中心是經度180°、南緯38°的一點,位于新西蘭的東北沿海。看, 大自然的造化竟是如此鬼斧神功!
  (三)數學。十九世紀,盧卡斯(1824—1891)構造了一類更值得研究的數列,被稱為“推廣的斐波那契數列”,即:從任何兩正整數開始,往后的每一個數是其前兩個數之和。斐波那契數列及其推廣最值得注意的性質是:相鄰兩數的比交替地大于或小于黃金分割值。并且,此數列繼續下去,比值無限趨近于黃金分割值,即以黃金分割值為極限。斐波那契數列與黃金分割比的密切關系,從下列的通項公式可以看出,此等式給出斐波那契數列第n項的準確值,因為
  附圖B29i03.JPG
  被消去了。
  附圖B29i04.JPG
  近十年來,分形幾何學的發展是數學界值得注意的現象。這個被譽為“自然界的幾何學”的數學分支中同樣包含著神奇的黃金分割現象。對于分形幾何來說,其維數并不必為整數,并且分維值的增加構成一種冪函數關系。例如,瑞典數學家科赫創造的“科赫雪片”,其曲線上任何兩點之間的距離,在極限下都是無限的,但曲線所包圍的面積卻是有限的,它嚴格等于原等邊三角形面積的8/5,即1.6。由于康托爾集是“均勻的”(即由保持相同權重的區間產生),可用2[n]個閉區間來覆蓋這個集合,每個區間長((1-1/3)/2)[n]=3[-n]。根據D 的定義,我們考慮V[,d]=2[n](3[-n])[d],令n→∞使2n3[n]3[-nd]→ 0,或相當于 n(ln2-dln3)→∞,求諸d的下確界,求得ln2/ln3為康托爾三等分集的 D,它是一個非整數0.6309。康托爾集既不是點的離散集,也不是一條線,而是介于點線的中間狀態的存在。另外,將一塊平面反復貼合而成的“馬蹄鐵”形狀嵌入原來的正方形,并不斷地重復這樣的變換,最終產生了復雜層次結構的集合,其維數等于 1+log2/log3=1.63。盡管分形幾何的維數由于標度的不同,而表現出不同的分維值,但是只要細心,仍然可以經常看到類似上述的分維值。如,幾種蛋白質的分維值大都在1.62左右。
  (四)物理學。物理學是研究物質運動的一般規律和物質的基本結構的科學。現代物理學的發展,不斷揭示著物理現象中隱藏著的黃金分割機理。1982年,在美國國家標準局實驗室里,物理學家舍赫特曼發現了鋁和錳合金五度軸對稱的點衍射花樣。經認真研究后,認為這是固體中新近發現的一種準晶體結構。后經穆斯堡爾譜的研究,表明存在兩種可分辨的錳原子位置,它們相對于鋁原子的位置是完全反對的,而這些位置出現的相對幾率是1.6±0.2,非常接近黃金分割值。接著,斯坦哈特、納爾遜和羅卡特等運用計算機進行模擬以后又作了更詳盡的數學分析。他們的研究結果證明:這種準晶體結構中的準晶格點,由平行面族(或族線)相交產生,它們的相鄰間距在斐波那契數列中的兩個特征長度間交替變換;較長的與較短的間距為黃金分割值。
  1985年,詹森(Jensen)等人研究了瑞利—貝納德( Rayleigh —Benard)熱對流中流體的不穩定現象。他們觀察的流體儲存在一個長方形的小容器中,容器的頂部與底部存在一個溫度差△T, 形成的熱對流線是水平方向的兩個滾筒。當增大底部與頂部的溫度差,使△T 超出某一臨界值時就會導致流筒對流線出現不穩定,并開始按ω。=230mHz頻率有規則地變形。為了給系統以擾動,詹森等人將小容器放置在一個水平磁場中,并在底部中心與頂部中心通以交流電, 交流的電頻率為 ω[,ac]=Ωω。這里Ω=(
  附圖B29i03.JPG
  -1)/2為黃金分割比值。 擾動的結果,導致靠近容器底部液體的溫度隨時變化并不規則地起伏。對這些起伏進行記錄,就得到溫度的時間序列T[,t]。 詹森等人用盒子計算法得出了熱對流中f(a)-α曲線,并且還發現,熱對流在黃金分割點的擾動和臨界周圍映射具有相同的多重分析結構。⑧
  (五)思維科學。思維科學是研究人們的思維方式以及思維的發生機理的科學。它雖然是一門新的學科,但同樣也積累了不少資料。對于心臟與腦的關系究竟怎樣,心臟是如何參與腦的思維的,心、腦狀態變量之間的最優化值是多少等問題,王德kūn@①、李慎芙兩人進行了開創性的研究。她們從10名心腦血管病患者(均齡56歲),4 名腦血管病患者(均齡9歲)以及5名研究人員(均齡39歲)的心臟電波上取樣進行實時測定。測定部位為左右大腦半球、左右額區、左右枕區、中線區以及心電標準導聯Ⅰ,對于病人只測閉目、安靜狀態;對于研究人員則測安靜、心算、背誦詩詞以及氣功等4種狀況。 每人每種狀態都在心腦8個分部上,計算出δ、θ、β[,1]、β[,2]、β[,3]等6個頻段的平均功率譜;然后,再按10種組合方式,分別求取兩兩部分間狀態變量的比值。其結果表明,在腦與腦或腦與心之間,各頻率段的平均功率譜比值以“ 0.6”的出現機率為高,非常顯著性地多于“0.1—0.7”(P<1%);比值“0.6”的平均值為0.646,標準差為0.030,標準誤差為0.029,變動范圍為0.617—0.675。這正好將黃金值0.618包括在內。 而在背誦詩詞、較安靜狀態時,比值“0.6”的出現幾率顯著增高。 特別是精神意境和諧、怡然、深遠時,則最優化耦合系數愈逼近0.618, 且出現幾率也明顯增多。輕微心理功能障礙時,最優化耦合系數出現幾率銳減,其值則向遠大于0.618的方向偏移; 腦內疾病定位區最優化耦合系數缺如。⑨
      三 黃金分割:“真”與“美”的統一
    (一)黃金分割是客觀世界普遍存在的一種物質運動形式
  恩格斯曾經指出:“世界的真正的統一性是在于它的物質性,而這種物質性不是魔術師的三兩句話所能證明的,而是由哲學和自然科學的長期的和持續的發展來證明的。”⑩黃金分割現象是客觀世界物質運動規律的一種表現形式。最初,人們通過數學的推演計算和藝術的審美判斷而把它歸之于主觀范疇的東西。如,畢達哥拉斯學派認為“數”是萬物的本原。但是,隨著經驗科學特別是大量的實驗物理現象和天文觀測現象的發現,人們逐漸認識到“黃金分割”是一種自然現象,是客觀世界統一性的表征。因為,無論是在無機界,還是在有機界,無論是在自然、社會還是人的思維運動,無論是在微觀、中觀,抑或是宏觀、宇觀,黃金分割都在那里起作用。它仿佛一只“看不見的手”在那里操縱著整個世界,并使之和諧有序。我們稱之為“黃金動力”。
  但是,為什么整個自然存在著“黃金動力”或“黃金分割律”呢?我們認為這是大自然的本性,是大自然和諧、自洽的本質要求。關于這一點,科學家奧古斯特·布賴菲(Auguste Brarais )、 福格爾(H. Vogel)等人的研究很有說服力。1837年,晶體學家奧古斯特·布賴菲及其兄弟路易(Louis )在研究植物生長過程中的螺旋線和斐波那契數時,注意到植物發育原基中心到尖端所形成的夾角,并且相繼的夾角是完全相等的,它們的公共數值叫發散角,通常很接近137.5度。1907 年范蒂爾森(G.Van.Iterson)順著這條線索探尋,搞清楚了在被137.5度角分割的緊密盤旋螺線上畫出相繼點時所發生的情況。由于相鄰點開列的方式,使人眼能認出兩族彼此互相交錯的螺線——一族順時針旋轉,另一族逆時針旋轉。1979年,福格爾從排列的幾何學角度得出的實驗數值表明,假若相繼原基按照黃金分割角排列在生成螺線上,則它們將最有效地擠在一起。因為想有效地填滿所有空間空隙,需要的發散角必須是360度的無理數倍數,即被一個不能表示成兩個整數比的數相乘。 而黃金分割數正如數論專家所說的是最無理的數。福格爾的計算機實驗證實了這一預言。其后,法國巴黎統計物理學家道狄和庫得從動力學的角度證明黃金分割現象,并設計了一個實驗系統。他們假定,某種相繼的基元——代表原基——在小圓(代表植物尖端)邊緣上某處以相等的時間間隔形成,然后這些基元以某個特定初始速度徑向地遷移。此外,他們還假定基元之間互相排斥,就像帶相同極性的相等電荷或磁體那樣。這確保了徑向運動不斷地進行下去。根據這些假定,他們在用置于垂直磁場中充滿硅油的圓碟完成了一個實驗。實驗結果是,相繼液滴以很接近于黃金分割角的發散角落在一條螺線上,產生出交錯螺線的向日葵種子模式。(11)雖然上述推論和實驗能不能解釋所有黃金分割現象還不能作最后的結論,但至少說明了某些黃金分割現象產生的微觀機理,是自然發生論的有力證據。
  黃金分割律作為自然界普遍存在的客觀規律,是自然界中的現象之間的必然的、實質性的、不斷重復著的關系。它如同萬有引力定律、能量守恒與轉化定律等一樣有比較精確的數學表達,同時又像系統與結構、信息與控制等原則那樣具有較高的普遍性和抽象性。如“提丟斯——波得定則”實際上就是“黃金分割律”的近似的數學表達形式。而體現在陰陽八卦中的黃金分割思想則具有較高的哲學意味,正因為這一點,黃金分割本身體現了客觀世界統一性與多樣性兩者的辯證關系。即客觀世界在本質上展示黃金分割魅力的同時,也容納表現形式上的各種變化。例如,太陽系中行星分布并不是嚴格地按照黃金分割進行的。此外,在其它自然現象中大量存在著的近似值,也說明了這一點。
  黃金分割律還為“真”與“美”的統一奠定了堅實的客觀基礎。真善美的統一是人類追求的最高境界。法國哲學家狄德羅曾說,真、善、美是緊密地結合在一起的。那么,真善美三者有沒有統一的基礎,是怎樣統一的,這些問題需要從理論上闡述清楚。而我們知道,從畢達哥拉斯開始,人們一直認為,上帝是以幾何學的原則來建造宇宙之美的。而這個幾何學的原則主要是指黃金分割原則(從美術發展史的角度來看,在歷史上藝術家們還采用了另外一些具有新的美學特點的分割線段的比例關系,如
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  ∶1(相當于1.4142∶1)。黃金分割原則蘊含了美學價值。現在看來,這種美學價值有著現實的客觀基礎,即蘊含著事實價值和真理性價值。它是自然界“黃金分割”運動形式在人們的觀念形態中的反映,并通過審美活動產生愉悅和快感。由此我們想起馬克思關于“美的規律”的思想。在這里,“美的規律”說到底是一種自然的歷史的運動形式,同其它任何自然規律一樣,是外在于人的主觀認識的。只有當它成為一種感性形式、同人類的實踐活動聯系起來時,它才具有了主觀、符號化的形式。與自然規律不同的是,美的規律在成為“美的定律或原則”時,它更多地訴諸于人的感性形式。從審美主體來看,人類的審美心理活動的產生也是按照“黃金分割律”進行的。王德kūn@①等人的研究表明,意識活動(包括審美活動)與腦心部分的最優化耦合相關。由此我們可以得出結論,具有普遍意義的黃金分割律是自然運動規律與人類的審美活動統一的客觀基礎,在一定意義上找到了“真”與“美”統一的內在機理。我們有理由相信,進一步的研究,我們可以最終實現中國傳統哲學所謂的“判天地之美,析萬物之理”的目標。
    (二)黃金分割率是對立統一法則的延伸和補充
  根據唯物辯證法的原理,任何事物都是作為矛盾統一體而存在的。即每一事物都包含著互相對立的兩個方面。對立的雙方既互相排斥,又互相依存,共居于一個統一體中。在這個統一體中,矛盾的雙方不總是處在勢均力敵的狀態下的,常常以一方為矛盾的主要方面,另一方為次要方面。由于矛盾的雙方又同一又斗爭,矛盾雙方力量的對比會發生變化。當這種變化達到某個關節點時,矛盾雙方的性質就會改變,一事物就會轉化為它事物,原有的矛盾統一體就會讓位于新的矛盾統一體。這是我們從辯證唯物主義對立統一學說中得到關于事物矛盾狀態變化的說明。
  但是,矛盾的雙方處在一種什么樣的狀態中才算是穩定的、和諧的、自洽的?矛盾的主要方面在多大程度上最能充分地表現事物的性質?顯然這里有個度或最佳度的問題。而矛盾學說不能給予說明,也不需要給予說明。因為矛盾學說概括總結的對立統一法則是事物運動變化的最一般的法則,具有很高的抽象性和普適性。當要用來說明具體事物的度或最佳度問題時,常常需要經過一系列具體環節和經驗科學的幫助。其中,黃金分割法則是一個十分重要的中介環節。
  我們可以把黃金分割率看作是矛盾雙方統一體學說的一種數學表達。而“度”則可看作某一給定的線段,線段的起點和終點正是“度”的上限和下限。而“最佳度”則是這條線段上的某一點,也可說是上述兩點之外的第三點。當然,這個第三點當它表征最佳度的概念時,通常穩定在“0.618”值。例如,人體是最佳的矛盾統一體。
  需要說明的是,作為說明最佳矛盾統一體的黃金分割法則并非某一具體運動形式的揭示與表達,而是具有一般性質的總體概括。正如道家鼻祖老子所言:“道生一、一生二、二生三、三生萬物……”。黃金分割值正是老子所說的“三”,既在“二”之下,又在“萬物”之上,是事物由“道”向“器”、由“一”向“多”轉變的中間環節。因而,它既具有哲學的思辨性,又具有經驗科學的可操作性和數學表達的完美性。也因為有了這樣的性質,我們常常在事物的某些層面上不能直接看到黃金分割律的“倩影”,而且,我們能夠直接描述的黃金分割值許多也只是近似值。
  還需要說明的是,黃金分割是否是宇宙的廣義分形?黃金分割值與作為八卦思想的數學表達的“太極序列”是個什么關系?應當說,古代《周易》思想是一種樸素的“分形理論”。李后強等人(1990)把《周易》思想同分形概念聯系起來。他們認為伏羲氏所作64卦次序圖,可分解成一個康托爾集。但它并非一般的“三等分”康托爾集,其自相似比r=1/4,N=2,分維D[,f]=0.50 。 我國天文地質學家徐道一等人(1989)在廣泛研究天、地、生各種現象的有序性(如周期、旋回、韻律、節奏等)的基礎上,發現這些周期與被稱為“太極序列”的數值
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  有很好的對應關系。所謂太極序列是一個無量綱指數序列。只需要將K =…, -α, -1,0,1,2,…等代入式中通過計算即可求得。而且,依K 之奇偶性可將上述序列一分為二,得到兩個子序列:…,1.414 , 2.83,5.64,11.3,22.6,45.3,90.5,181,…;…1,2,4,8,16,32,64,128,…。這兩個子序列恰對應于“太極生兩儀, 兩儀生四象,四象生八卦”的古代太極思想。其中,偶序列被稱為基本序列。(12)如果太極序列被證實,對預測未來和自然科學無疑是一個重大的發現。至少它是對包括八卦思想在內的古代辯證法和現代辯證法思想的數學說明的嘗試。
  但是,上述觀點似乎過于執著于矛盾雙方的消長與轉化的一面。因而上述觀點中用于說明的一些數據顯得過于僵硬和牽強。有學者(梁立明,1990)指出,天地生各種自然現象的周期與
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  周期序列之間對應方式是有區別的,有些周期是不變的,有些則是可變的。而可變的周期并非有很好的對應數值。例如,行星同太陽距離的提丟斯—波得定則與空間周期序列數值就沒有很好的對應。且不說行星依次與太陽的實際距離與太極序列理論值完全不相符合,即使以地球到太陽的平均距離為一個天文單位所求出的數值也與太極序列理論值相比出入較大。以海王星為例,其太極序列理論值為38.8,而實際觀察到它到太陽的平均距離則為30.061。梁立明指出,常周期現象的背后有可能是一種線性調控因素。某一自然現象的不變周期P[1]與某一大數,如
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  對應,就意味著P[1]=P/a=
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  。此時,若要探尋該自然現象具有太極數周期的原因,就必須從比式P/α出發。而自然現象的變周期序列如果為等比遞增序列, 那么,調控周期長短的因素在數學中可能具有對數函數的形式。例如,蔣匡仁(1976)提出的地球運動模式就認為,地球冷暖變化數值規律可以用對數螺線P=ae[mψ]來表示,其中包含著一個關于冰川周期的等比序列,而且是一個公比為1.64=1/0.61的等比序列。 這一公比恰好是黃金分割值0.618。這樣,根據以上的數學分析,在公比1/0.61背后起調控作用的各種因素,其綜合作用效果也等價于對數規律的支配作用,只不過和公比為
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  的太極子序列相比,各自所對應的對數曲線中a、p值不同而已。(13)
  舉上述例子并不是想否定太極序列值進一步推導與預測經驗事實的可能性,而只想證明
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  的太極序列并不是唯一的變周期序列。至少我們可以找到公比為1/0.61的變周期序列加以補充。事實上,
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  的太極序列還可能與公比為1/0.61的變周期序列存在著內在的聯系。如前所述,有人已從“河圖”數字符號中導出黃金分割值。這也許是黃金分割律作為對立統一法則的補充和延伸的證明。
    (三)黃金分割法則為人類實踐活動提供了一般的方法論原則
  馬克思在《1844年經濟學—哲學手稿》中指出:“動物只按照他所屬的那個物種的標準和需要去制造,而人卻知道怎樣按照每個物種的標準來生產。而且知道怎樣把本身固有的(內在的)標準運用到對象上來制造,因此,人還按照美的規律來制造。”在這里,馬克思不僅把“美的規律”看作是藝術創造的規律,而且也看作是人們物質生產的一般規律。他認為,無論是物質生產產品還是精神生產產品,都與美有聯系。黃金分割律是自然和“美”的一條重要規律,在人們把握它以后,能夠有效地指導人們的實踐活動:創造物質文明和精神文明。因而,黃金分割法則為人們的實踐活動提供了一個較基本的方法論原則。并且,黃金分割法則不同于對立統一法則的地方,在于它更具有實體性、功能性、精確性,因而具有更為直接的可操作性。
  在認識和改造客觀對象的過程中,認識事物的度特別最佳度的問題,是人類實踐活動的一個突出的問題。黃金分割法則為人們把握事物的最佳度提供了一個最基本的依據。我們可以把黃金分割線的兩段看作矛盾雙方的統一體。其中一條線段可看作矛盾的主要方面,另一段可看作矛盾的次要方面。在我們確定矛盾雙方的性質時,應當作具體分析。例如,一個健康人的體溫應當穩定在37℃左右。這時,人體內部兩類性質的矛盾雙方達到量的最佳的比例。而當人生病發高燒時,人體(矛盾的性質)就會發生變化,矛盾的主要方面也會發生易位。舉這個例子是說明,運用黃金分割法則能夠使我們更好地運用對立統一法則,能夠更準確地把握事物的“最佳度”。可以說,“0.618 ”是事物最佳度的“普適常數”。
  從各方面的資料來看,除了在美學與藝術創造活動中大量采用黃金分割法則外,人們已經總結出成功運用黃金分割法則于物質生產領域中的經驗,這一法則的突出作用在于它的優化原理的運用。下面舉兩個較為典型的例子。
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  在經濟學領域中,新古典主義經濟學家菲力普斯和霍普曼等人提出了人均資本存量的“黃金定律”。即表征在什么樣的情況下,資本勞動力的比率最優,人均消費可以達到最大。(如圖所示)圖中,人均產出Y/L曲線和人均儲蓄曲線之間的垂直距離即人均消費C/L,C/L=F (K/L,1)-K/L×n-△K/L,△K/L為圖中的NJ部分。在既定的儲蓄傾向Sr下,當人均儲蓄曲線是S/L時,如果人均的資本存量為(K/L)[,1],人均創造的投資將超過在一定的勞動增長水平上維持人均資本勞動力比率不變的需要,超過的部分就是△K/L。△K/L將使以原來的勞動力總額計算的人均資本存量提高到(K/L)。這時△K/L=0, 人均創造的投資恰好能滿足在一定的勞動力增長水平上維持人均資本比率不變,取得均衡。但是,在(K/L)。上的人均消費并不是最大的,于是政府就通過財政政策或貨幣政策降低人均儲蓄, 使人均儲蓄曲線降為S'/L,使得人均資本存量為(K/L) [,1], 這時人均創造的資本恰好滿足在一定的勞動力增長水平上維持人均資本勞動力比率不變的需要,人均的儲蓄全部轉化來維持人均的資本量不變,在J點取得均衡, 這時△K/L=0。在這一點上,曲線Y/L(曲線Y/L在M點上的切線)和K /L×n平行,也就是人均資本存量的邊際生產率等于勞動力自然增長率,這時人均消費取得極大值。
  經濟學家約翰·馮·諾伊曼建立了最大的平衡增長率模型。與此相似,這個模型也是符合黃金分割法則的,其他割點出現于利息率與人口增長相等之處。(15)還有人提出所謂商品的最優價,即最高檔價格減去最低檔價格乘以0.618即為商品的最優價格。比如, 茶葉品種規格很多,僅茉莉花茶就有十幾個品級,如高檔的每公斤92元,最低檔的每公斤12元。根據商品的最優價法則計算:(92-12)×0.618=49.44元/公斤。根據信息統計,這一檔次的茶葉正是最受消費者歡迎的。另外,還有人運用黃金分割法則研究股市的反彈現象。(15)
  在管理科學中,尋求目標的最優解常常需要運用黃金分割法則。我國著名數學家華羅庚創造的優選法(包括分數法)以及最優控制系統專家特略金等人的“極大值原理”等都是黃金分割法的成功運用。在求解單變量極值問題中,設目標函數的極值所在的區間為(a,b),該法取第一個試驗點X[,1]在區間為0.618比例處,即X[,1]=a+0.618(b -a)。計算該點函數值f(X[,1]),然后取該點的對稱點作第二試驗點 X[,2],即X[,2]=a+b-x[,1]。再計算f(X[,2]),然后將f(X[,1])、f(X[,2])進行比較。如果極值為取最小值,則留下兩者的目標函數小的值。如果極值為最大值,則留下兩者的函數大的值。例如:目標函數的極值為最小值,且f(X[,1])、f(X[,2])則去掉a到X[,2]那一段區間,下一步即取留下區間(X[,2],b)中X[,1]的對稱點作X[,3],即X[,3]=X[,2]+b-X[,1],然后比較f(X)與f(X[,3]),如此等等,直到找到按精度要求所需要的最小值為止。當用上述方法處理不方便時,可用0.618的近似分數值取代,即“分數法”。 管理學家鮑吉人總結了社會科學和自然科學的理論成果和經驗材料,提出了“三結合決策優化——K、Q、M理論”。他認為萬事萬物可一分為三。θ[,c]=0.333是K、M理論中的一個臨界值。例如,在領導決策中,可分為優解、次優、非劣解和劣解三部分。只有θ=0.333,M=1,有η=
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  =0. 667 時為62.5分,即素質為很好或較好的系統。他認為,0.618是數學的優選,K、θ、M則是力學的優選法,它是近似數學優選法的。(16)由此,我們可能形成一門“黃金管理法”的新興學科。
  以上所述的只是一些比較典型的例證。事實上,黃金分割法的運用例證還很多。如市場營銷中,運用黃金分割值設計消費者滿意的小汽車造型,將袋裝藥芯外敷在人體神闕穴(此恰為人體高度的神分點)達到“內病外治”的“505神功元氣袋”、心理學中“黃金記憶法”等等。可以說,黃金分割法則已普遍運用于社會生活的許許多多領域。它已成為模擬自然本性,創設和諧、舒適、美好生活環境的一種基本方法。
科學技術與辯證法太原26~34B2科學技術哲學蔣謙19991999文章在陳述黃金分割現象的基礎上,著力闡釋黃金分割率的本體論內涵和方法論意義。文章認為黃金分割法則是對立統一法則的補充和延伸,是人類實踐活動的重要方法論原則。黃金分割/本體論/方法論蔣謙,男,40歲,華中理工大學在職哲學碩士研究生。郵編:443503 作者:科學技術與辯證法太原26~34B2科學技術哲學蔣謙19991999文章在陳述黃金分割現象的基礎上,著力闡釋黃金分割率的本體論內涵和方法論意義。文章認為黃金分割法則是對立統一法則的補充和延伸,是人類實踐活動的重要方法論原則。黃金分割/本體論/方法論
2013-09-10 21:22

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