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南北朝時期著名的科學家
南北朝時期著名的科學家
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南朝賢才 科學大家
   祖沖之(429―5OO)是我國南北朝時代南朝的一位著名科學家。
  從公元42O年東晉滅亡到589年隋朝統一全國的一百七十年中間,我國歷史上形成了南北對立的局面,這一時期稱作南北朝。南朝從公元42O年東晉大將劉裕奪取帝位,建立宋政權開始,經歷了宋、齊、梁、陳四個朝代。同南朝對峙的是北朝,北朝經歷了北魏、東魏、西魏,北齊、北周等朝代。祖沖之是南朝人,出生在宋,死的時候已是南齊時期了。
  當時由于南朝社會比較安定,農業和手工業都有顯著的進步,經濟和文化得到了迅速發展,從而也推動了科學的前進。因此,在這一段時期內,南朝出現了一些很有成就的科學家,祖沖之就是其中最杰出的人物之一。
  祖沖之的原籍是范陽郡遒縣(今河北易縣)。在西晉末年,祖家由于故鄉遭到戰爭的破壞,遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌,曾在宋朝政府里担任過大匠卿,負責主持建筑工程,是掌握了一些科學技術知識的;同時,祖家歷代對于天文歷法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學技術的機會。
  祖沖之對于自然科學和文學、哲學都有廣泛的興趣,特別是對天文、數學和機械制造,更有強烈的愛好和深入的鉆研。早在青年時期,他就有了博學多才的名聲,并且被政府派到當時的一個學術研究機關――華林學省,去做研究工作。后來他又担任過地方官職。公元461年,他任南徐州(今江蘇鎮江)刺史府里的從事。464年,宋朝政府調他到婁縣(今江蘇昆山縣東北)作縣令。
  祖沖之在這一段期間,雖然生活很不安定,但是仍然繼續堅持學術研究,并且取得了很大的成就。他研究學術的態度非常嚴謹。他十分重視古人研究的成果,但又決不迷信古人。用他自己的話來說,就是:決不“虛推(盲目崇拜)古人”,而要“搜煉古今(從大量的古今著作中吸取精華)”。一方面,他對于古代科學家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞[kan看]澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究,充分吸取其中一切有用的東西。另一方面,他又敢于大膽懷疑前人在科學研究方面的結論,并通過實際觀察和研究,加以修正補充,從而取得許多極有價值的科學成果。在天文歷法方面,他所編制的《大明歷》,是當時最精密的歷法。在數學方面,他推算出準確到六位小數的圓周率,取得了當時世界上最優秀的成績。
  宋朝末年,祖沖之回到建康(今南京),担任謁者仆射的官職。從這時起,一直到齊朝初年,他花了較大的精力來研究機械制造,重造指南車,發明千里船、水碓磨等等,作出了出色的貢獻。
  當祖沖之晚年的時候,齊朝統治集團發生了內亂,政治腐敗黑暗,人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機發大兵向南進攻。
  從公元494年到5O0年間,江南一帶又陷入戰火。對于這種內憂外患重重逼迫的政治局面,祖沖之非常關心。大約在公元494年到498年之間,他担任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》,建議政府開墾荒地,發展農業,增強國力,安定民生,鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章,打算派祖沖之巡行四方,興辦一些有利于國計民生的事業。但是由于連年戰爭,他的建議始終沒有能夠實現。過不多久,這位卓越的大科學家活到七十二歲,就在公元50O年的時候去世了。
改革歷法 引入歲差
   我國古代勞動人民,由于畜牧業和農業生產的需要,經過長時期的觀察,發現了日月運行的基本規律。他們把第一次月圓或月缺到第二次月圓或月缺的一段時間規定為一個月,每個月是二十九天多一點,十二個月稱為一年。這種計年方法叫做陰歷。他們又觀察到:從第一個冬至到下一個冬至(實際上就是地球圍繞太陽運行一周的時間)共需要三百六十五天又四分之一天,于是也把這一段時間稱作一年。按照這種辦法推算的歷法通常叫做陽歷。但是,陰歷一年和陽歷一年的天數,并不恰好相等。按照陰歷計算,一年共計三百五十四天;按照陽歷計算,一年應為三百六十五天五小時四十八分四十六秒。陰歷一年比陽歷一年要少十一天多。為了使這兩種歷法的天數一致起來,就必須想辦法調整陰歷一年的天數。對于這個問題,我們的祖先很早就找到了解決的辦法,就是采用“閏月”的辦法。在若干年內安排一個閏年,在每個閏年中加入一個閏月。每逢閏年,一年就有十三個月。由于采用了這種閏年的辦法,陰歷年和陽歷年就比較符合了。
  在古代,我國歷法家一向把十九年定為計算閏年的單位,稱為“一章”,在每一章里有七個閏年。也就是說,在十九個年頭中,要有七個年頭是十三個月。這種閏法一直采用了一千多年,不過它還不夠周密、精確。公元412年,北涼趙創作《元始歷》,才打破了歲章的限制,規定在六百年中間插入二百二十一個閏月。可惜趙的改革沒有引起當時人的注意,例如著名歷算家何承天在公元443年制作《元嘉歷》時,還是采用十九年七間的古法。
  祖沖之吸取了趙的先進理論,加上他自己的觀察,認為十九年七閏的閏數過多,每二百年就要差一天,而趙六百年二百二十一闖的閏數卻又嫌稍稀,也不十分精密。因此,他提出了三百九十一年內一百四十四閏的新閏法。這個閏法在當時算是最精密的了。
  除了改革閏法以外,祖沖之在歷法研究上的另一重大成就,是破天荒第一次應用了“歲差。”
  根據物理學原理,剛體在旋轉運動時,假如絲毫不受外力的影響,旋轉的方向和速度應該是一致的;如果受了外力影響,它的旋轉速度就要發生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規則的剛體,在運行時常受其他星球吸引力的影響,因而旋轉的速度總要發生一些周期性的變化,不可能是絕對均勻一致的。因此,每年太陽運行一周(實際上是地球繞太陽運行一周),不可能完全回到上一年的冬至點上,總要相差一個微小距離。按現在天文學家的精確計算,大約每年相差50.2秒,每七十一年八個月向后移一度。這種現象叫作歲差。
  隨著天文學的逐漸發展,我國古代科學家們漸漸發現了歲差的現象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點后移的現象,不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年,天文學家虞喜才開始肯定歲差現象的存在,并且首先主張在歷法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數據,算出冬至日每五十年退后一度。后來到南朝宋的初年,何承天認為歲差每一百年差一度,但是他在他所制定的《元嘉歷》中并沒有應用歲差。
  祖沖之繼承了前人的科學研究成果,不但證實了歲差現象的存在,算出歲差是每四十五年十一個月后退一度,而且在他制作的《大明歷》中應用了歲差。因為他所根據的天文史料都還是不夠準確的,所以他提出的數據自然也不可能十分準確。盡管如此,祖沖之把歲差應用到歷法中,在天文歷法史上卻是一個創舉,為我國歷法的改進揭開了新的一頁。到了隋朝以后,歲差已為很多歷法家所重視了,象隋朝的《大業歷》、《皇極歷》中都應用了歲差。
  祖沖之在歷法研究方面的第三個巨大貢獻,就是能夠求出歷法中通常稱為“交點月”的日數。
  所謂交點月,就是月亮連續兩次經過“黃道”和“白道”的交叉點,前后相隔的時間。黃道是指我們在地球上的人看到的太陽運行的軌道,白道是我們在地球上的人看到的月亮運行的軌道。交點月的日數是可以推算得出來的。祖沖之測得的交點月的日數是27.21223日,比過去天文學家測得的要精密得多,同近代天文學家所測得的交點月的日數27.21222日已極為近似。在當時天文學的水平下,祖沖之能得到這樣精密的數字,成績實在驚人。
  由于日蝕和月蝕都是在黃道和白道交點的附近發生,所以推算出交點月的日數以后,就更能準確地推算出日蝕或月蝕發生的時間。祖沖之在他制訂的《大明歷》中,應用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準確,和實際出現日、月蝕的時間都很接近。
  祖沖之根據上述的研究成果,終于制成了當時最科學、最進步的歷法――《大明歷》。這是祖沖之科學研究的天才結晶,也是他在天文歷法上最卓越的貢獻。
  此外,祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間,也進行了觀測和推算。我國古代科學家算出木星(古代稱為歲星)每十二年運轉一周。西漢劉歆作《三統歷》時,發現木星運轉一周不足十二年。祖沖之更進一步,算出木星運轉一周的時間為11.858年。現代科學家推算木星運行的周期約為 11. 862年。祖沖之算得的結果,同這個數字僅僅相差O.O4年。此外,祖沖之算出水星運轉一周的時間為115.88日,這同近代天文學家測定的數字在兩位小數以內完全一致。他算出金星運轉一周的時間為583.93日,同現代科學家測定的數字僅差O.O1日。
  公元462年(宋大明六年),祖沖之把精心編成的《大明歷》送給政府,請求公布實行。宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優劣進行討論。在討論過程中,祖沖之遭到了以戴法興為代表的守舊勢力的反對。戴法興是宋孝武帝的親信大臣,很有權勢。由于他帶頭反對新歷,朝廷大小官員也隨聲附和,大家不贊成改變歷法。
  祖沖之為了堅持自己的正確主張,理直氣壯地同戴法興展開了一場激烈的辯論。
  這一場關于新歷法優劣的辯論,實際上反映了當時科學和反科學、進步和保守兩種勢力的尖銳斗爭。戴法興首先上書皇帝,從古書中抬出古圣先賢的招牌來壓制祖沖之。他說,冬至時的太陽總在一定的位置上,這是古圣先賢測定的,是萬世不能改變的。他說,祖沖之以為冬至點每年有稍微移動,是誣蔑了天,違背了圣人的經典。他又把當時通行的十九年七闖的歷法,也說是古圣先賢所制定,永遠不能更改。他甚至罵祖沖之是淺陋的凡夫俗子,沒有資格談改革歷法。

  祖沖之對權貴勢力的攻擊絲毫沒有懼色。他寫了一篇有名的駁議。他根據古代的文獻記載和當時觀測太陽的記錄,證明冬至點是有變動的。他指出:事實十分明白,怎么可以信古而疑今。他又詳細地舉出多年來親自觀測冬至前后各天正午


  日影長短的變化,精確地推算出冬至的日期和時刻,從此說明十九年七閏是很不精密的。他責問說:舊的歷法不精確,難道還應當永遠用下去,永遠不許改革。誰要說《大明歷》不好,應當拿出確鑿的證據來。


  當時戴法興指不出新歷到底有哪些缺點,于是就爭論到日行快慢、日影長短、月行快慢等等問題上去。祖沖之一項一項地據理力爭,都駁倒了他。


  在祖沖之理直氣壯的駁斥下,戴法興沒話可以答辯了,竟蠻不講理地說:“新歷法再好也不能用。”祖沖之并沒有被戴法興這種蠻橫態度嚇倒,卻堅決地表示:“決不應該盲目迷信古人。既然發現了舊歷法的缺點,又確定了新歷法有許多優點,就應當改用新的。”


  在這場大辯論中,許多大臣被祖沖之精辟透徹的理論說服了,但是他們因為畏懼戴法興的權勢,不敢替祖沖之說話。最后有一個叫巢尚之的大臣出來對祖沖之表示支持。他說《大明歷》是祖沖之多年研究的成果,根據《大明歷》來推算元嘉十三年(436)、十四年、二十八年、大明三年(459)的四次月蝕都很準確,用舊歷法推算的結果誤差就很大,《大明歷》既然由事實證明比較好,就應當采用。


  這樣一來,戴法興只有啞口無言。祖沖之取得了最后勝利。宋孝武帝決定在大明九年(465)改行新歷。誰知大明八年孝武帝死了,接著統治集團內發生變亂,改歷這件事就被擱置起來。一直到梁朝天監九年(51O),新歷才被正式采用,可是那時祖沖之已去世十年了。


圓周定律 著書綴術


   祖沖之不但精通天文、歷法,他在數學方面的貢獻,特別對“圓周率”研究的杰出成就,更是超越前代,在世界數學史上放射著異彩。


  我們都知道圓周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比,這個比值是一個常數,現在通用希臘字母“π”來表示。圓周率是一個永遠除不盡的無窮小數,它不能用分數、有限小數或循環小數完全準確地表示出來。由于現代數學的進步,已計算出了小數點后兩千多位數字的圓周率。


  圓周率的應用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面,凡牽涉到圓的一切問題,都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是“ 3”,這當然很不精密,但一直被沿用到西漢。后來,隨著天文、數學等科學的發展,研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3”這個不精確的圓周率值,他曾經采用過的圓周率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為**=3.1622。這些數值比起π=3當然有了很大的進步,但是還遠遠不夠精密。到了三國末年,數學家劉徽創造了用割圓術來求圓周率的方法,圓周率的研究才獲得了重大的進展。


  用割圓術來求圓周率的方法,大致是這樣:先作一個圓,再在圓內作一內接正六邊形。假設這圓的直徑是2,那末半徑就等于1。內接正六邊形的一邊一定等于半徑,所以也等于1;它的周長就等于6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長,用直徑2去除,得到周長與直徑的比π=6/2=3,這就是古代π=3的數值。但是這個數值是不正確的,我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小于圓周的周長。


  如果我們把內接正六邊形的邊數加倍,改為內接正十二邊形,再用適當方法求出它的周長,那么我們就可以看出,這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長,這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結論:圓內所做的內接正多邊形的邊數越多,它各邊相加的總長度(周長)和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講,如果內接正多邊形的邊數增加到無限多時,那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起,從此計算出來的內接無限正多邊形的面積,也就和圓面積相等了。不過事實上,我們不可能把內接正多邊形的邊數增加到無限多,而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數,使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數的辦法求圓周率,得數永遠稍小于π的真實數值。劉徽就是根據這個道理,從圓內接正六邊形開始,逐次加倍地增加邊數,一直計算到內接正九十六邊形為止,求得了圓周率是3.141O24。把這個數化為分數,就是157/50


  劉徽所求得的圓周率,后來被稱為“徽率”。他這種計算方法,實際上已具備了近代數學中的極限概念。這是我國古代關于圓周率的研究的一個光輝成就。


  祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書・律歷志》的記載,祖沖之把一丈化為一億忽,以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數:一個是盈數(即過剩的近似值),為3.1415927;一個是H數(即不足的近似值),為3.1415926。圓周率真值正好在盈H 兩數之間。《隋書》只有這樣簡單的記載,沒有具體說明他是用什么方法計算出來的。不過從當時的數學水平來看,除劉徽的割圓術外,還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法,把圓的內接正多邊形的邊數增多到24576邊時,便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。


  盈H 兩數可以列成不等式,如:3.1415926(*)<π(真實的圓周率)<3.1415927(盈),這表明圓周率應在盈H 兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣,祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/119(約等于3.1415927),這一個數比較精密,所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是了(約等于3.14),這一個數比較粗疏,所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲,直到1573年才由德國數學家渥脫求出了355/119這個數值。因此,日本數學家三上義夫曾建議把355/119這個圓周率數值稱為“祖率”,來紀念這位中國的大數學家。


  由于祖沖之所著的數學專著《綴術》已經失傳,《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法,因此,我國研究祖國數學遺產的專家們,對于他求圓周率的方法還有不同的見解。


  有人認為祖沖之圓周率中的“H 數”。是用作圓的內接正多邊形的方法求得的;而“盈數”則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的。祖沖之如果繼續用劉徽的辦法,從圓的內接正六邊形算起,逐次加倍邊數,一直算到內接正24576邊形時,它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長,這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積,從此求出的圓周率為3.14159261,也只能小于圓周率的真實數值,這就是H 數。從祖沖之的數學水平來看,突破劉徽的方法,從外切正六邊形算起,逐次試求圓周率,也是可能的。如果祖沖之把外切正六邊形的邊數成倍增加,到正24576邊形時,他所求得的圓周率應該是3.1415927O2O8。這個數是用外切方法求得的。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠大于圓周的長度,這正多邊形的面積也永遠大于圓面積,所以這個數總比真實的圓周率大。用四舍五入法舍去小數點七位以后的數字,就得出盈數。


  祖沖之究竟是否同時用過內接和外切這兩個方法求出圓周率的H 數和盈數,是沒有確切史料可以證實的。但是采用這個辦法所求出的H、盈兩個數值,和祖沖之原來所求出的結果大體是一致的。所以有些數學史家認為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率,是很近情理的推想。



  但是根據另一些數學史家的研究,盈、H兩數也可以由計算圓內接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂,這里不說了。


  盡管說法有出入,但是祖沖之曾經求得“密率”,并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數值的范圍,是可以肯定的。在一千五百年前,他有這樣的成就和認識,真值得我們欽佩。


  在推算圓周率時,祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起,算到24576邊時,就要把同一運算程序反復進行十二次,而且每一運算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現在用紙筆算盤來進行這樣的計算,也是極其吃力的。當時祖沖之進行這樣繁難的計算,只能用籌碼(小竹棍)來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細,沒有堅韌不拔的毅力,是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神,是很值得推崇的。


  祖沖之死后,他的兒子祖[xuan玄〕繼續父親的研究,進一步發現了計算圓球體積的方法。


  在我國古代數學著作《九章算術》中,曾列有計算圓球體積的公式,但很不精確。劉徽雖然曾經指出過它的錯誤,但究竟應當怎樣計算,他也沒有求得解決。經祖刻苦鉆研,終于找到了正確的計算方法。他所推算出的計算圓球體積的公式是:圓球體積=π/c D(D代表球體直徑)。這個公式一直到今天還被人們采用著。


  祖沖之還曾寫過《綴術》五卷,是一部內容極為精采的數學書,很受人們重視。唐朝的官辦學校的算學科中規定:學員要學《綴術》四年;政府舉行數學考試時,多從《綴術》中出題。后來這部書曾經傳到朝鮮和日本。可惜到了北宋中期,這部有價值的著作竟失傳了。


機械巧手 音哲旁通


   指南車是一種用來指示方向的車子。車中裝有機械,車上裝有木人。車子開行之前,先把木人的手指向南方,不論車子怎樣轉彎,木人的手始終指向南方不變。這種車子結構已經失傳,但是根據文獻記載,可以知道它是利用齒輪互相帶動的結構制成的。相傳遠古時代黃帝對蚩尤作戰,曾經使用過指南車來辨別方向,但這不過是一種傳說。根據歷史文獻記載,三國時代的發明家馬鈞曾經制造過這種指南車,可惜后來失傳了。公元417年東晉大將劉裕(也就是后來宋朝的開國皇帝)進軍至長安時,曾獲得后秦統治者姚興的一輛舊指南車,車子里面的機械已經散失,車子行走時,只能由人來轉動木人的手,使它指向南方。后來齊高帝蕭道成就令祖沖之仿制。祖沖之所制指南車的內部機件全是銅的。制成后,蕭道成就派大臣王僧虔、劉休兩人去試驗,結果證明它的構造精巧,運轉靈活,無論怎樣轉彎,木人的手常常指向南方。


  當祖沖之制成指南車的時候,北朝有一個名叫索馭的來到南朝,自稱也會制造指南車。于是蕭道成也讓他制成一輛,在皇宮里的樂游苑和祖沖之所制造的指南車比賽。結果祖沖之所制的指南車運轉自如,索馭所制的卻很不靈活。索馭只得認輸,并把自己制的指南車毀掉了。祖沖之制造的指南車,我們雖然已無法看到原物,但是由這件事可以想象,它的構造一定是很精巧的。


  祖沖之也制造了很有用的勞動工具。他看到勞動人民舂米、磨粉很費力,就創造了一種糧食加工工具,叫作水碓磨。古代勞動人民很早就發明了利用水力著米的水礁和磨粉的水磨。西晉初年,杜預曾經加以改進,發明了“連機碓”和“水轉連磨”。一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米;一個水轉連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎上進一步加以改進,把水碓和水磨結合起來,生產效率就更加提高了。這種加工工具,現在我國南方有些農村還在使用著。


  祖沖之還設計制造過一種千里船。它可能是利用輪子激水前進的原理造成的,一天能行一百多里。


  祖沖之還根據春秋時代文獻的記載,制了一個“欹器”,送給齊武帝的第二個兒子蕭子良。欹器是古人用來警誡自滿的器具。器內沒有水的時候,是側向一邊的。里面盛水以后,如果水量適中,它就豎立起來;如果水滿了,它又會倒向一邊,把水潑出去。這種器具,晉朝的學者杜預曾試制三次,都沒有成功;祖沖之卻仿制成功了。由此可見,祖沖之對各種機械都有深刻的研究。


  祖沖之的成就不僅限于自然科學方面,他還精通樂理.對于音律很有研究。


  此外,祖沖之又著有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》等關于哲學的書籍,都已經失傳了。


  祖沖之的兒子祖,也是一位杰出的數學家,他繼承他父親的研究,創立了球體體積的正確算法。在天文方面,他也能繼承父業。他曾著《天文錄》三十卷,《天文錄經要訣》一卷,可惜這些書都失傳了。他父親制定的《大明歷》,就是經他三次向梁朝政府建議,才被正式采用的。他還制造過記時用的漏壺造得很準確,并且作過一部《漏刻經》。


  祖沖之在天文、歷法、數學以及機械制造等方面的輝煌成就,充分表現了我國古代科學的高度發展水平。


  祖沖之所以能夠取得這樣輝煌的成就,并不是偶然的。首先,當時社會生產正在逐步發展,需要有一定的科學成就來配合前進,因而就推動了科學的進步,祖沖之就在這時候取得了天文、數學和器械制造等方面的成績。其次,從上古到這時候,在千百年的長時期中,已積累了不少科學成果,祖沖之就在前人創造的基礎上做出了他的成績。至于祖沖之個人的認真學習,刻苦鉆研,不迷信古人,不畏懼守舊勢力,不怕斗爭,不避艱難,自然也都是取得杰出成就的重要原因。


  祖沖之不僅是我國歷史上杰出的科學家,而且在世界科學發展史上也有崇高的地位。祖沖之創造“密率”,是世界聞名的。我們應該紀念像祖沖之這樣的科學家,珍視他們的寶貴遺產。
2013-09-10 21:24

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