民初思韻網

加入收藏   設為首頁
選擇語言   簡體中文
你好,請 登陸 或 注冊
首頁 人文思韻 傳奇人物 歷史思潮 時代作品 話題討論 國民思韻 民初捐助 賬戶管理
  搜索  
    歷史思潮 >>> 新興科技、社會發展等人文科學探討
字體    

非線性科學的哲學問題
非線性科學的哲學問題
網載     阅读简体中文版


  中國科學院院士、物理學家郝柏林教授認為,近二、三十年來數理科學基礎研究的一個重要發展特征是“‘非’字當頭(〔14〕)。其中講到非線性問題,這是各門自然科學中出現的非線性問題的總稱。非線性科學是研究非線性問題的共性的一門新的交叉學科。它已經揭示出大量新的現象、事實和規律,向哲學提出許多新問題。對這些問題的研究將使哲學得到豐富和發展。
      一、什么是非線性科學
  “線性”與“非線性”是一對數學名詞。“線性”是指兩個變量之間具有正比例的關系,它在笛卡爾坐標平面上表示為一條直線,線性由此得名。“非線性”是指兩個變量之間沒有象正比例那樣的“直線”關系。
  實際問題的解決需要建立數學模型,然后進行求解。數學模型一般表現為方程,而方程又有線性與非線性之別。描述復雜事物運動變化規律的數學方程都是非線性的,所以,科學家們把復雜現象叫做非線性現象,把研究復雜現象的科學叫做非線性科學。
  客觀事物是復雜的,但是,以前人們受到認識能力和認識手段的限制,總是把復雜事物加以簡化,略去一些次要因素,或是把復雜系統分解為一些簡單系統,以求得對問題的近似解決。科學家這種處理方法叫做線性化,即把非線性問題化為線性問題。
  線性化方法雖然在以前的科學研究中取得了巨大成績,推動了科學的發展,但是,當社會和科學的進一步發展,要求更全面、準確地反映客觀事物的時候,就暴露出它的局限性。伽利略在研究單擺運動中,用自己的脈搏測量教堂掛燈擺動的時間,發現擺動的周期幾乎與擺幅大小無關。從理論上講,就是使擺回復到靜止位置的力與擺的偏角成正比,即一種線性關系。但是,當提高測量時間的精確度后,卻發現擺幅越大,擺動的周期越長,這就無法用線性方程來說明了。實際上,回復力與偏角之間已經是一種非正比(非線性)關系了。18世紀的英國經濟學家馬爾薩斯(1766—1834)于1798年發表《人口論》,他在影響人口增長的諸多因素(如增長率、食物供應量、自然災害等)中只考慮人口的增長率,而舍棄其他因素,得到人口增長的線性數學模型,由此得出結論:人口是按幾何級數增長的,而糧食是按算術級數增長的,也就是說,人口的增長快于生活資料的增長。所以他主張采取各種措施控制人口的繁殖。現在看來,馬爾薩斯的結論過于簡單,因為他忽略的因素太多了,不能準確地反映人口變化的正常規律。如果我們考慮一個地區或國家人口賴以生存的生活資料的有限性,那么人口增長的數學模型就變成非線性方程。這就是非線性科學中著名的邏輯斯蒂方程。
  單擺和人口增長的例子說明,如果我們要更準確地認識客觀事物的變化規律,就必須考慮更多的因素;而考慮的因素越多,數學模型也就越復雜,用科學語言講就是非線性問題。人們用這一觀點重新審視客觀事物的運動變化,發現非線性現象比比皆是,所以有的科學家認為,“世界在本質上是非線性的”(〔17〕)。
  各門科學中都存在著各自的非線性問題,研究這些非線性問題的共性,就形成一門新興的交叉學科——非線性科學。經過將近半個世紀的研究,人們已經認識到非線性現象的三大普適類:混沌(chaos)、 分形(fractal)和孤立子(soliton)(〔17〕)。對這些普適類的研究已經構成非線性科學的三大理論前沿。
  非線性科學具有重要的意義。它標志著人類對自然界的認識已經由線性現象進入非線性現象,必然對今后的科學發展產生重大影響。物理學家認為,混沌學的創立是物理學的第三次革命。郝柏林教授說:“混沌研究的進展,無疑是非線性科學最重要的成就之一。……這是相對論和量子力學問世以來,對人類整個知識體系的又一次巨大沖擊。這也許是20世紀后半葉數理科學所做的意義最為深遠的貢獻。”(〔1〕, 校者前言)分形幾何是自牛頓建立微積分以來數學中的又一次革命。(〔12〕,“譯者的話”)有的物理學家認為,孤立子理論的發展預示著物理與數學的統一。1984年美國數學科學基金來源特別委員會給美國國家研究委員會的題為“美國數學的現在與未來”的報告中說:“目前正在發生一件振奮人心的大事,這就是數學與理論物理的重新統一”;“我們正在進入一個新的時代,在這個時代中數學和物理之間的界限實際上已經消失了”。(引自〔11〕,第33頁)
      二、非線性科學揭示出新的事實、特點和規律
  非線性科學的創立是人們對客觀事物認識的深化,它使我們的認識大大前進一步。事實上,非線性科學已經揭示出許多有別于線性問題的新的事實、特點和規律。例如:
    1、確定性方程存在內在隨機性——混沌
  動力學是研究系統狀態隨時間變化的規律。這種規律可以用微分(或差分)方程來描述。一旦建立系統的運動方程,系統后一時刻的狀態便決定于前一時刻的狀態,它們彼此間的關系是確定的。這就是說,只要知道系統的運動方程和初始條件,就可以求出系統的運動軌道,從而也就知道系統在任何時刻的位置(或狀態)。
  1963年,美國氣象學家洛倫茲發表《確定性的非周期流》一文,第一次明確地從確定性方程得到隨機性的結果。洛倫茲的數值天氣預報的方程是確定的、非線性的,但通過計算機數值計算時,發現當初始值出現微小誤差時,方程的解卻出現非周期振蕩(隨機性)。隨后,埃農(Henon,1964)、若斯勒(Rossler,1976)等人得到類似結果。這些結果說明,非線性系統的方程雖然是確定的,但在一定條件下,卻可以出現隨機性現象。
  洛倫茲發現的這種隨機性不同于一般由外噪聲引起的隨機性(即外在隨機性)。因為這種隨機性既不是由于系統存在著的隨機力或受環境外噪聲的影響,也不是由于無窮多個自由度的相互作用而產生的,而是來自系統內部的,所以稱為“內在隨機性”。混沌學家把確定性系統內部出現的這種隨機性叫做混沌。它表現為對初值的敏感依賴性,或不可預測性,這就像我們平常所說的“差之毫厘,失之千里”。
    2、混沌序
  混沌是確定論系統的內在隨機性,就其隨機性和不可預測性而言,它是無序的,即不具備周期性和其他明顯對稱特征。但是,混沌學又表明,它決不是簡單的無序,在理想情況下,混沌狀態具有無窮的內部結構,只要有足夠精密的觀察手段,就可以在混沌態之間發現周期或準周期運動,以及在更小的尺度上重復出現的混沌運動。就此而言,它又表現出一種有序態。更科學一點說,我們現在不僅知道通向混沌的幾種道路,即倍周期分岔道路、陣發混沌道路和準周期運動道路,而且知道系統通過倍周期分岔進入混沌的兩個普適性定律,即兩個費根鮑姆常數。同時還知道,混沌區并不是一片混亂,而是呈現出一種有序的結構。例如,在由倍周期分岔通向混沌中,混沌區存在著從右到左的2[n](n=1,2,3…)個混沌帶(稱為倒分岔);在混沌帶中嵌套著許多不是混沌的周期窗口(即嵌在混沌帶中的周期軌道,這些周期軌道也是自右向左排列的),這種嵌套并不是無序的,而是按照薩可夫斯基定理中的序列排序的。
  因此,自然界除了有序和無序外,還存在著過渡性的第三種狀態,它酷似無序而實則有序,郝柏林教授稱之為“混沌序”。他說,“自然界中存在著有理序(周期性)、無理序(準周期性)和混沌序(內在隨機性),而混沌序可能比前兩者更‘高級’。”(〔15〕)
    3、混沌是自然界的一種普遍運動形式
  根據混沌學研究結果,耗散系統由于能量的耗散而使軌線在相空間中的相體積不斷收縮,或者使不同初始條件所確定的軌線可能趨向于同一點集,從而形成奇怪吸引子。對于保守系統,它在相空間中的運動軌線不可能產生奇怪吸引子。那末,它是否會出現隨機性而作不規則運動呢?本世紀五、六十年代,由前蘇聯數學家柯爾莫果洛夫提出,后經阿諾德(1963)和莫塞(1967)證明的KAM定理使人們認識到, 保守系統除了可以作規則運動之外,在一定條件下,也可能出現隨機性而作混沌運動。
  KAM定理的大意是:在不可積系統的哈密頓函數中,(1)如果擾動很小(此時系統稱為近可積系統),(2 )且擾動不含有與原來可積系統的運動發生簡單共振的頻率成份,那么不可積系統的運動仍限制在n維環面上。
  混沌學家從不滿足KAM定理的兩個條件進行研究, 結果發現:當不滿足條件(2),且系統的自由度大于2時,不可積系統將作混沌運動;當不滿足條件(1)時,即加大擾動時,軌道在各KAM環面之間穿越運動,出現阿諾德擴散,這表明最后各KAM環面相接而遭破壞, 從而被這些環面分隔開的不規則運動層將融合在一起,以至最終將充滿整個等能面,這就是混沌運動。這兩種情況說明,保守系統,除了可積系統和滿足KAM定理條件的近可積系統外,它的運動將是隨機的混沌運動。
  現在的問題是,在動力學系統中有多少是不可積的呢?德國數學家L.西格爾等人早40年代就作了回答:不可積系統多得不可勝數,而可積可解的力學系統卻寥寥無幾。這就是說,動力學系統作確定的、有規的運動是極其個別的,而絕大多數是作混沌運動的。所以,混沌學家說:“對于人類生活的現實世界來說,耗散系統的混沌比保守系統的混沌更為普遍,……可以說,如果深入地進行研究,除了理想的情況之外,每一種現實的運動都是混沌運動。”(〔19〕)由此可見,混沌是自然界里的普遍現象。
    4、分形維數的非整數性
  傳統幾何學研究的是規整的、光滑的圖形,它是對自然形態的近似描述,其維數都是整數維的。例如,點是零維、線是1維、平面是2維、立體是3維。分形幾何是研究自然物體形態的幾何學, 它是直接研究未經抽象化和理想化的自然物的形態結構的。這種自然物體形態所表現出來的幾何圖形是不規整的、粗糙的、不可微的。分形幾何的創立者曼德勃羅特于1975年拼造“分形”(fractal )一詞表征這類圖形的形態特點。分形的一個重要特征是,它的維數一般是非整數(即分數)的,表示分形的復雜性和填滿空間的程度。例如,海岸線的維數是1~1.3;路面的維數是2.25;人肺的維數是2.17;……這些新事實、新特點是以前從未遇到過的。
    5、分形體具有局部與整體的自相似性
  分形幾何還揭示出,分形體具有另一個重要特點——局部與整體的自相似性。對于有規分形,這種自相似性表現為無窮嵌套或無窮自相似性,即不斷放大微小部分,都可以發現部分(不管多么小)與整體的自相似性;對于無規分形,自相似性只存在于一定的范圍內,或在一定的標度空間中才呈現出來。這是先前研究整形(相對于分形而言)幾何學中從未見到的新情況、新特點。
    6、分形圖不能用傳統數學方法描述, 但卻能用簡單的迭代法生成
  分形圖形從直觀上看是不規整的、不光滑的,表現出自然物形態的復雜性,它無法用傳統的數學方法來描述。例如,海岸線是一條分形曲線,它的長度,如果用傳統數學方法——直線段來逼近曲線時,隨著直線段的無限變小(或量尺的不斷縮小),海岸線將變成無窮長。這說明傳統數學方法無法描述象海岸線這類分形圖。但是,我們卻可以用簡單的迭代法來生成。例如,我們可以應用迭代函數系統(IFS )生成諸如植物、叢林、山川、煙云等復雜的自然景物。
  以上只是說明,非線性科學確實揭示出一些以前研究線性問題中從未遇到過的新現象、新事實和新規律,需要哲學工作者去認真研究和概括,使哲學隨著自然科學的發展而發展。
      三、非線性科學的哲學問題
  人類對自然界的認識已經由線性現象進入非線性現象,向哲學提出一些新的問題,甚至是挑戰性的問題。對這些問題的研究,必將促進哲學的發展。
    1、混沌對拉普拉斯決定論的沖擊
  法國數學家兼天文學家拉普拉斯(1749—1827)看到,牛頓力學不僅把天上和地上的物體運動都統一在牛頓力學原理中,而且根據這一原理數學地推導出其他自然現象。因此,他作了哲學概括,在其著作《概率的分析理論》(1812)一書的第2版(1814 )序言“關于概率的哲學淺說”中提出著名的機械決定論自然觀。他把自然界一切運動都歸結為力學運動。在因果關系上,只肯定必然的、確定的聯系,提出有一種廣大無邊的“理解力”可以把宇宙間大到天體小到原子的運動都無遺地包括在一個公式中,“對于這種理解力來說,沒有任何事物是不確定的;未來也如過去一樣全都呈現在它的眼中”,從而否定偶然性,認為偶然性是“虛構的”,是人們“無知的表現”(〔18〕)。
  拉普拉斯自然觀的理論基礎是牛頓力學。盡管牛頓力學隨著科學的發展,而一次又一次受到沖擊,使得它的適用范圍縮小到宏觀低速運動,但拉普拉斯自然觀仍然支配著一些自然科學家的思想,直到1944年愛因斯坦給玻恩的信中還堅特認為:“你信仰擲骰子的上帝,我卻信仰客觀存在的世界中的完備的定律和秩序”(〔10〕,第415頁)。 如果說這時機械決定論還有棲身之所,那么混沌學的產生就使得機械決定論幾乎無立足之地。
  混沌學說明,雖然牛頓力學系統是屬于確定性的,但它卻存在著內在隨機性(混沌);動力學系統作有規的運動只是極其個別的,而混沌倒是自然界的一種普遍運動形式。這就從根本上動搖了拉普拉斯自然觀的自然科學基礎。因此,混沌學家福特(J.Ford)說:“相對論消除了關于絕對空間與時間的幻象;量子力學則消除了關于可控測量過程的牛頓式的夢;而混沌則消除了拉普拉斯關于決定論式可預測的幻想。”(引自〔9〕,第4頁)
    2、自然觀的變革
  非線性科學說明世界本質上是非線性的,它所揭示出來的一些新的事實和規律,必然對自然觀產生重大影響,這主要表現在如下幾方面:
  混沌運動的普遍性 混沌學揭示出確定論系統存在著內在隨機性,而且混沌是自然界的一種普遍運動形式,而我們原先的哲學沒有反映具有普遍性的混沌運動的規律。那么我們如何根據非線性科學的成果,概括出新的自然觀呢?對此,一些物理學家、數學家已經提出一種混沌自然觀。郝柏林教授說:“決定論還是概率論?二者的關系可能是非此即彼,亦此亦彼。更真實地反映宏觀世界的觀念應是基于有限性的混沌論”(〔16〕)。 英國數學家伊恩·斯圖爾特也表達了類似的思想(〔7〕,引言)。
  分形的自相似性 分形幾何是研究自然形態的幾何學。當人們用分形的觀點重新審視自然物時,發現自然界的各種各樣自然形態本質上都具有分形的結構,因此,分形學家說,自然界處處有分形。分形的一個重要特點是自相似性(或標度對稱性)。對于新發現的這種普遍存在的新特點,唯心主義已經提出一種分形世界觀來為星相學、占卦提供“科學根據”,那么辯證唯物主義又將如何進行概括呢?
  空間維數觀念的變革 分形幾何揭示出分形結構的維數是非整數的,它表示分形圖的復雜性和填滿空間的程度,這是對以前人們關于空間維數觀念的沖擊,改變了人們先前把維數理解為確定物體位置的最少座標數的觀念。
  現在,自然辯證法工作者已經根據現代科學的成果,提出各式各樣的自然觀——如混沌自然觀、分形(或自相似)自然觀等——那么辯證唯物主義如何根據現代科學的成果概括出一個統一的、新的自然觀呢?
    3、對還原論的沖擊
  客觀事物是復雜的,它包括時間和空間的復雜性。系統時空行為的復雜性具有不同形式,但卻表現出一些共同特點:(1 )它們一般是處于開放的、遠離平衡的系統之中的;(2)存在著非線性的相互作用,其發展過程是不可逆的;(3)系統對初值具有敏感的依賴性, 但時空復雜行為通常在某些局部發展形成各種自組織形態,使其對某些種類微擾的敏感性減弱,在空間中形成較為穩定的圖形(〔8〕,第4頁)。但是,以往人們總是用還原論方法來處理,例如,將物質分解為分子、原子、原子核和電子……。自然界中物質運動的許多形式(如流體的湍流)都是分子以上水平的質點基本運動組合而成的,這些基本運動都是確定的和可逆的,但它們的組合運動形式卻往往是不可逆的,有時甚至呈現出一定的隨機性。這種情況說明,組合運動的規律不一定能由基本運動的規律來說明。例如,海岸線的長度問題,如果像以前那樣不斷縮小直線段來逼近曲線,就會得出無窮長的結論。
    4、擴大對規律性的理解
  以往的哲學教導我們,物質運動是有規律的。這里所說的規律是指運動軌跡空間分布的對稱性和時間延伸過程的周期性,或者是運動軌跡可以用一個數學方程來表示,即有序。無序是指空間分布上的無規性和時間延伸過程的隨機性。總之,就物體運動狀態而言,存在著有序態和無序態這兩種狀態。
  混沌學揭示出,自然界還存在著過渡性的第三種狀態——“混沌序”。就其不具有傳統的周期性和對稱性而言,它是一種無序狀態;就其空間結構而言,它具有自相似性(或者說標度對稱性),表現出一種新的有序態。既然混沌是自然界的一種普遍運動形式,就說明混沌序比我們平常所理解的有序更普遍。因此,混沌序不僅擴大了我們對物質運動規律性的認識,而且將促使我們重新審查對規律概念本身的理解。
    5、有限性原則
  郝柏林教授根據混沌理論的研究認為:“完全的決定論和純粹的概率論,都隱含著承認某種‘無窮’過程為前提”;可是,實際上“我們只能進行有限的觀測和描述”。“看來,我們須得把有限性提升為一種原則,如何表述有限性原則,尚有待繼續研究”。但是,“只要承認有限性,那么決定性和概率性描述之間的鴻溝就消失了”,因為“有限個隨機數可能用決定論的過程來產生”(〔16〕)。
  在這里,郝柏林教授作為自然科學家向哲學工作者提出兩個問題:(1)如何把有限性原則提升到哲學上進行概括,與此相聯系的是, (2)確立了有限性原則后,是否可以消除必然性與偶然性的對立呢? 這是值得我們研究的。
    6、計算機實驗作為科學實驗的一種獨立形式
  隨著計算技術和計算數學的進步,計算機得到廣泛應用,并且在科學研究和工程技術中起著越來越重要的作用。1963年, 洛倫茲(Lorenz)發現奇怪吸引子,1964年,埃農和海爾斯(Heils)發現守恒系統的混沌現象,1975年,克魯斯科爾(Kruskal)和扎布斯基(Zabusky)發現孤立子,1978年費根鮑姆(Feigenbaum)和利布查伯(Libuchaber)發現分岔現象和湍流模型的普適性質,無一不是首先在計算機上得到的。鑒于計算數學和計算機在科學研究中的重要性,出現許多與計算有關的新學科,如計算力學、計算物理、計算化學、計算生物學、計算地質學等。因此,有的科學家認為:“科學計算已經同理論與實驗共同構成當代科學研究的三大支柱。”(〔6〕,第23 頁)“科學與工程計算國家實驗室”主任石鐘慈教授認為:“計算已成為一種基本的科學方法。它與從牛頓、伽利略以來發展起來的兩種傳統科學方法——理論和實驗——形成鼎足而立之勢,大大改變了現代科學技術的面貌,人們現在已把計算稱為‘第三種科學方法’。”(〔20〕)
  科學計算涉及大量數據,不依靠計算機是無法實現的,同時光有大量數據還很難發現其中的規律性,所以它又必須借助計算機的屏幕顯示出來,即通過計算機把科學計算的大量數據轉化為計算機屏幕上的圖形、圖像,實現科學研究可視化。 所以現在出現一個“科學可視化”(Scientific Visualization,簡寫VISC)新概念。因此, 類似于計算機運用于數學研究而出現“實驗數學”這一新的研究形式,我們能否從哲學上對“科學計算”這一新方法,進一步從哲學上概括出獨立于科學實驗的“計算機實驗”,作為對以前所說的幾種社會實踐形式的一種補充和發展呢?如果可以,那么計算機實驗與科學實驗又有什么聯系和區別呢?
    7、豐富和發展辯證法思想
  非線性科學充滿著辯證法思想,它對于豐富和發展唯物辯證法將起到重要作用。
  (1)外在隨機性和內在隨機性  “必然性與偶然性”是一對哲學名詞,在科學研究中與其對應的名詞是“確定性與隨機性”。關于偶然性的來源問題,以前的哲學教科書認為:“某一偶然的現象是事物發展過程中由于外在的非本質的原因而產生的。”(〔13〕,第143 頁)我們把這種由外在原因引起的隨機性叫做“外在隨機性”。
  混沌學揭示出在確定論系統的演化過程中存在著內在隨機性,它與外在隨機性既有聯系又有區別。 我們可以根據系統的柯爾莫果洛夫(Kolmogorov)熵K的值判斷其運動的性質或無規程度:當K=0時,系統作完全規則的運動;當K為有限正值時,系統作混沌運動, 它的隨機性是一種內在隨機性;當K趨于無窮大時,系統作完全無規的隨機運動, 這時的隨機性就是一種外在隨機性(〔2〕,第251頁)。
  由此可見,非線性科學使我們認識到:隨機性(或偶然性)除了外在隨機性外,還存在著內在隨機性;它們在一定條件下可以相互轉化。
  (2)必然性與偶然性(或確定性與隨機性)  非線性科學揭示出確定性系統存在著內在隨機性,而且對于不同的確定性系統能夠具體指出在什么條件下系統的運動將變成隨機性運動。這就為哲學上的必然性轉化為偶然性提供了科學根據。
  哲學上,一般是通過統計規律性來理解“必然性通過大量偶然性表現出來”這個命題的。個別微觀粒子的運動是隨機的,但大量微觀粒子的宏觀狀態卻具有統計規律性。混沌學提供了偶然性表現必然性的一種新形式。混沌就其不可預測性來說,是一種隨機(偶然)的,但就其空間的有序結構而言,它又是確定的、必然的。因此,混沌序所表現出來的必然性并不是通過統計規律性表現出來的,而是其自身直接呈現出一種規律性。
  (3)有序與無序 與必然性和偶然性這對哲學范疇相聯系的, 在科學研究中存在著有序與無序這一對概念。前面說過,有序是指空間分布的有規則性和時間延伸過程的周期性;無序是指空間分布的無規則性和時間延伸過程的隨機性。以前人們總是把有序與無序理解為絕對立的兩種狀態。混沌學揭示出,自然界還存在著過渡性的第三種狀態:“混沌序”。它的發現就在確定論(有序)與隨機論(無序)之間找到了中間狀態,擴大了我們對有序與無序的認識以及它們之間的轉化,這也從一個方面豐富了我們對必然性與偶然性的認識。
  (4)穩定與不穩定  系統作混沌運動所產生的奇怪吸引子或混沌吸引子,表現出在其周圍的軌道總是要向它靠拢,而呈現出系統的運動在整體上的穩定性;但是,一旦軌道進入奇怪吸引子后,又產生復雜的伸拉、扭曲、折疊的過程,因此,就具體軌道來看,它又是不穩定的。產生這種整體的穩定性與局部的不穩定性的原因是,系統的確定性,使得其軌道服從確定性的規律(微分方程),所以表現出整體的穩定性;但是,由于混沌運動具有對初始條件的敏感依賴性,使得不同初始值確定的具體軌線表現出個體的不穩定性。所以,穩定與不穩定是相對立的,但它們又共處于奇怪吸引子這個統一體之中。
  (5)簡單與復雜 客觀事物是復雜的, 但人們以前對復雜的事物的認識總是通過還原論方法,把復雜系統變成簡單系統。分形幾何提供了聯系復雜性與簡單性的另一種形式——迭代法。1985年美國數學家巴恩斯列(M.F.Barnsley)提出一套分形構形系統(稱為迭代函數系統IFS )。只要給出物體的幾個仿射變換系數,就可以確定該物體的迭代函數系統,然后不斷地應用同一種簡單的迭代操作來生成植物、叢林、山川、煙云等復雜的自然景觀。這是一種通過把復雜的圖形轉化為一種簡單的迭代公式,然后利用計算機的高速運算的特點,再現復雜圖形。IFS 還具有很強的圖形數據壓縮能力,它在數據壓縮和圖形通訊等領域有著廣闊的應用前景。這樣,我們對復雜與簡單的轉化形式的認識比以前豐富得多了。
  以上就個人的認識提出幾個問題,意在引起哲學界的重視。作為引玉之磚,肯定會有不全面、不準確之處,更何況非線性科學還在發展之中,誠望讀者批評指正。
哲學研究京48~55B2科學技術哲學林夏水19981998作者單位:中國社會科學院哲學所 作者:哲學研究京48~55B2科學技術哲學林夏水19981998
2013-09-10 21:39

歡迎訂閱我們的微信公眾賬號!
春秋茶館訂閱號
微信號 season-tea(春秋茶館)
每天分享一篇科技/遊戲/人文類的資訊,點綴生活,啟迪思想,探討古典韻味。
  清末民初歷史人物  民初人物
傳奇人物傳記 風華絕代 物華天寶
此間選取古往今來傳奇人物的傳記與軼事,事不分大小,趣味為先,立意新穎,足以激越古今。
清末民初學者大師
梁啟超(1873年2月23日-1929年1月19日),字卓如、任甫,號任公、飲冰子,別署飲冰室主人,廣東新會人,中國近代思想家、政治活動家、學者、政治評論家、戊戌變法領袖....
資助民初精神網
        回頂部     寫評論

 
評論集
暫無評論!
發表評論歡迎你的評論
昵稱:     登陸  註冊
主頁:  
郵箱:  (僅管理員可見)

驗證:   验证码(不區分大小寫)  
© 2011   民初思韻網-清末民初傳奇時代的發現與復興   版權所有   加入收藏    設為首頁    聯繫我們    1616導航