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用猜想驗證的方法化循環小數為分數
用猜想驗證的方法化循環小數為分數
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  把循環小數化成分數的方法,可以用移動循環節的過程來推導,也可以用無限遞縮等比數列的求和公式計算得到。下面我們運用猜想驗證的方法來推導。
      (一)化純循環小數為分數
  大家都知道:一個有限小數可以化成分母是10、100、1000 ……的分數。那么,一個純循環小數可以化成分母是怎樣的分數呢?我們先從簡單的循環節是一位數字的純循環小數開始。如:@①、@②……化成分數時,它們的分母可以寫成幾呢?
  想一想:可能是10嗎?不可能。因為1/10=0.1〈@①,3/10=0.3〉@②;可能是8嗎?不可能。 因為1/8=0.125〉@①,3/8=0.375〉@②;那么,可能是幾呢?因為1/10〈@①〈1/8,3/10〈@②〈3/8,所以分母可能是9。 下面我們來驗證一下自己的猜想:1/9=1÷9=0.111……=@①;3/9=1/3=1÷3=0.333……=@②。
  計算結果說明我們的猜想是對的。那么,所有循環節是一位數字的純循環小數都可以寫成分母是9的分數嗎?讓我們根據自己的猜想, 把@③、@④化成分數后再驗證一下。
  @③=4/9      驗證:4/9=4÷9=0.444……
  @④=6/9=2/3    驗證:2/3=2÷3=0.666……
  經過上面的猜想和驗證,我們可以得出這樣的結論:循環節是一位數字的純循環小數化成分數時,用一個循環節組成的數作分子,用9 作分母;然后,能約分的再約分。
  循環節是兩位數字的純循環小數怎樣化成分數呢?如:@⑤、@⑥……化成分數時,它們的分母又可以寫成多少呢?
  想一想:可能是100嗎?不可能。因為12/100=0.12〈@⑤,13/100=0.13〈@⑥。可能是98嗎?不可能。因為12/98≈0.1224〉@⑤,13/98≈0.1327〉@⑥;可能是多少呢?因為12/100〈@⑤〈12/98,13/100〈@⑥〈13/98,所以分母可能是99。是否正確,還需驗證一下。
  12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;
  13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。
  驗證結果說明我們的猜想是正確的。那么,所有循環節是兩位數字的純循環小數都可以寫成分母是99的分數嗎?讓我們再運用猜想的方法,把@⑦、@⑧化成分數后,驗算一下。
  @⑦=15/99=5/33,驗算:5/33=5÷33=0.151515……
  @⑧=18/99=2/11,驗算:2/11=2÷11=0.181818……
  經過這次猜想和驗證,我們可以得出這樣的結論:循環節是兩位數字的純循環小數化成分數時,用一個循環節組成的數作分子,用99作分母;然后,能約分的再約分。
  現在,你能推斷出循環節是三位數字的純循環小數化成分數的方法嗎?
  因為循環節是一位數字的純循環小數化成分數時,用9作分母, 循環節是兩位數字的純循環小數化成分數時,用99作分母,所以循環節是三位數字的純循環小數化成分數時,我們猜想是用999作分母, 分子也是一個循環節組成的數。讓我們再來驗證一下,如果這個猜想也是正確的,那么,我們就可以依次推下去了。
  附圖G398a16.JPG
  實驗證明:我們的猜想是完全正確的。照此推下去,循環節是四位數字的純循環小數化成分數時,就要用9999作分母了。實踐證明也是正確的。所以,純循環小數化成分數的方法是:
  用9、99、999……這樣的數作分母,9 的個數與循環節的位數相同;用一個循環節所組成的數作分子;最后能約分的要約分。
      二、化混循環小數為分數
  我們已經運用猜想驗證的方法研究過怎樣化純循環小數為分數,再用這種方法研究一下怎樣化混循環小數為分數。
  還是先從較簡單的數入手,如:
  附圖G398a17.JPG
  ……這樣循環節只有一位數字的混循環小數化成分數時,分子、分母分別有什么特點呢?
  這樣想:一個混循環小數有循環部分,還有不循環部分,能否將它改寫成一個純循環小數與一個有限小數的和,然后再化成分數呢?讓我們試試看。
  附圖G398a18.JPG
  觀察以上過程,你能看出循環節只有一位數字的混循環小數化成的分數有什么特點嗎?很容易看出:它們的分母都是由一個9與幾個0組成的數。再仔細觀察可以發現:0 的個數恰好與不循環部分的數字個數相同。它們的分子有什么特點呢?不難看出:它們的分子都比不循環部分與第一個循環節所組成的數要小。到底小多少呢?讓我們算一算:
  (1)21-19=2 (2)543-489=54 (3)696-627=69
  細心觀察不難看出:分子恰好是一個比不循環部分與第一個循環節所組成的數少一個由不循環部分的數字所組成的數。這個規律具有普遍性嗎?讓我們運用以上的規律把
  附圖G398a19.JPG
  化成分數,驗證一下它的正確性。
  附圖G398a20.JPG
  驗證:352/1125=352÷1125=0.312888……
  驗證的結果是完全正確的。那么,循環節是兩位數字的混循環小數化成的分數,分子、分母是否也有這樣的規律呢?分子是由一個比小數的不循環部分與第一個循環節所組成的數少一個不循環部分的數字所組成的數;分母是由9和0組成的數,0 的個數與不循環部分的數字個數相同,9的個數與一個循環節的數字個數相同。 讓我們按照猜想的方法試把
  附圖G398a21.JPG
  化成分數,然后再驗證一下。
  附圖G398a22.JPG
  實踐證明,我們的猜想是正確的。那么,循環節是三位數、四位數……的混循環小數是否也能按照這樣的方法化分數呢?讓我們把
  附圖G398a23.JPG
  化成分數后,再驗證一下
  附圖G398a24.JPG
  驗證的結果也是正確的,說明我們的猜想可能是正確的。這個方法也確實是正確的。當然,我們在運用猜想驗證的方法時,并不一定每次的猜想都是正確的。如果不正確,就需要根據具體情況進行修改,然后再驗證,直至正確為止。
  猜想驗證的方法是人類探索未知的一種重要方法,很多科學規律的發現,都是先有猜想,而后被不斷的驗證、再猜想、再驗證才被認識。猜想驗證也是一種重要的數學思想方法。我們應在向學生講解具體知識的同時,也要求他們從小就學習運用這種思想方法。
  字庫未存字注釋:
    @①原字為0.1,1上加.
    @②原字為0.3,3上加.
    @③原字為0.4,4上加.
    @④原字為0.6,6上加.
    @⑤原字為0.12,12上加.
    @⑥原字為0.13,13上加.
    @⑦原字為0.15,15上加.
    @⑧原字為0.18,18上加.
  
  
  
中小學數學:小學版京11~12G39小學各科教學閻列先19981998北京市海淀區雙榆樹中心小學 閻列先 作者:中小學數學:小學版京11~12G39小學各科教學閻列先19981998
2013-09-10 21:46

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