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論數學真理的檢驗標準
論數學真理的檢驗標準
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  1.真理是人們認識中同客觀事物及其發展規律相符合的內容,所謂認識的真理性,即認識與其對象的一致。因此,檢驗真理的標準與認識水平及認識對象的狀況有關。認識在發展,真理在發展,檢驗真理的標準也在發展。筆者認為,在科學認識真理性標準問題中,數學的真理性標準有其特殊性,實踐和邏輯證明是檢驗數學知識真理性的兩個不可或缺的標準,而在數學發展的不同階段,數學的真理性標準也有所變化。
  2.上古時代,不論是在古埃及、巴比倫,還是在古代中國,數學都是由于歷法、生產、貿易等的需要而得到發展,經驗性的計算和測量術是數學的主要內容。雖然數學已認識到某種普遍性,但還沒有形成嚴密的體系,它所包含的必然性還沒有得到揭示和證明。它在實踐中不斷被重復,并在生產和生活中起了相當大的作用,從而使其真理性得到檢驗證實。
  3.此后,從古希臘畢達哥拉斯學派開始,數學變得抽象起來,并形成了理論系統,追求知識也成為數學發展的動力之一。但是,直到上一世紀40年代前的2000多年間,數學研究的對象都可用“現實世界的空間形式和數量關系”[(1)]來概括。表面看來,這些抽象的東西似乎是“自由創造物和想象物”,“可是情形恰恰相反。自然界對這一切想象的數量都提供了原型。”[(2)]如何知道抽象的數學知識是否正確地反映了客觀實際呢?最終還是要看數學理論體系能否在實踐中被成功地運用。但是,自從希臘人使數學邁出“永遠不必回頭的”[(3)]決定性一步,即把數學納入嚴格的演繹證明的軌道,并使數學成為關于“思想事物”的一種抽象的科學之后,數學真理性的標準就同自然科學真理性的標準有所不同。
  4.自然科學通常被稱為經驗科學。一般說來,首先得到的是經驗水平的認識,一種知其然而不知其所以然的認識。化學中的定比定律、倍比定律,物理學中的氣體三定律,天文學中的行星運動三定律,等等,它們在被提出之初都只是經驗性知識。這類知識是通過對大量個別事實的歸納而得到的,沒有給出本質根據。但是,作為建立理論前的準備,在自然科學中仍占有重要地位。不言而喻,這類知識是否具有客觀真理性,要看它在實踐中是否總可以重復。因為既然人皆可以復按,那么就是不依人的意志為轉移的。
  5.自然科學進一步的發展,是要超越經驗水平,達到對對象本質的把握,即理論水平的認識。大自然的猜不透的史芬克斯之謎使得自然科學以假說作為自己的發展形式,而假說的成立與否只有通過實踐才能檢驗。說是詳細一些,在自然科學中,經驗事實是研究的出發點,人們在對經驗材料的歸納、類比中達到關于對象本質的某種洞察,并以此為契機進一步設立假說。但假說在提出時畢竟還是一種猜測,其真理性還沒有得到證明。社會實踐是一個試金石。如果人們依據假說確實能造成現象間的一定順序,如果假說預測的現象在觀察、實驗乃至生產中被證實,那以,這就證明了假說內容的普遍性和必然性。正如恩格斯在談到哥白尼的日心說時所講的,“當勒維烈從這個太陽系學說所提供的數據,不僅推算出一定還存在一個尚未知道的行星,而且還推算出這個行星在太空中的位置的時候,當后來加勒確實發現了這個行星的時候,哥白尼的學說就被證實了。”[(4)]
  6.自然科學中對立假說的發展,進一步說明了實踐是檢驗自然科學真理性的標準。定域決定論的隱變量理論與量子力學的統計因果描述是兩個互相對立的假說,誰是誰非,不能依據假說本身來判定。由于多種實驗結果,違背了根據隱變量理論所邏輯地推出的貝爾不等式,而與量子力學相符,這就否定了隱變量的設想,而證實了量子力學的正確性。又如,關于光的本性的“微粒說”和“波動說”在經典光學理論中爭論由來以久,但是由于現代物理中關于光的波模型和光量子模型,已經在各自的條件下得到廣泛的證實,人們就只有改變傳統的觀念,接受波粒二象性作為光的固有性質。
  7.與零散的經驗性知識揖別之后的數學,則要求由邏輯證明來保證的嚴格的確實性。數學也遵循著“實踐、認識、再實踐、再認識”的辯證途徑,但是由于數學對象的特點,數學理論的形成和發展表現出不同于自然科學的特點。作為數學研究對象的現實世界空間形式和數量關系,在這里已舍棄了任何特定事物的質的規定性,使數學成為一種關于結構模式的科學。這樣一種科學承認“抽象的同一性及其與差別的對立”[(5)]。它所研究的范圍內,概念、關系等都是確定的,不存在不確定因素的影響(概率論中,隨機事件發生的原因是不確定的,但作為數學問題,其概率是確定的;模糊數學中,模糊子集的界限是不明確的,但作為數學問題,其隸屬函數及元素對其隸屬度都是確定的)。這樣,數學由經驗水平上升到理論水平的過程,就是公理系統形成的過程。公理則是從經驗性命題中選擇出來的,它們是互相獨立的、不矛盾的、完備的,一般來說也是簡單易明的。在這一過程中,原來在實踐中得到驗證的經驗性命題又通過邏輯聯系而構成系統,實現了互相確證,于是公理被“辯證地證明。”[(6)]公理系統一旦形成,本來作為認識結果的公理集就成為該系統固有的基本關系(性質),成為研究的前提和出發點,而不是待證實的假說,這也就是馬克思所說的“方法上的轉變。”[(7)]此后,系統的進一步發展和新命題的確立,就成為由公理出發的、獨立的邏輯演繹過程。需要解決的是邏輯上的復雜性問題,而不象自然科學那樣是“科學發現--提出假說--實踐檢驗--確立理論”的周期過程。在數學公理系統的范圍內,嚴謹的推理和計算保證了數學的確實性,使得每一個數學結論都不可動搖,放之四海而皆準。正如愛因斯坦在評價歐幾里得幾何時所說的:世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡,這個邏輯體系如此精密地一步一步推進,以致它的每一個命題都是絕對不容置疑的。
  8.反過來,公理之外的數學命題只要未經證明,就不能認為是可靠的。當然,數學理論系統形成前,其中經過實踐檢驗的各個命題地位是平等的,本沒有公理和定理的區別。對一個公理系統來說,公理集的選擇也不是唯一的,因此很難說哪些命題可由實踐辯證地證明,哪些命題一定要經過邏輯證明。而在數學理論系統形成之后的發展中,雖然數學仍然具有經驗科學的一些特點,但在數學理論殿堂中已不再有“周三徑一”、“勾三股四弦五”等經驗性命題的位置了。數學命題的正確性,既不能借助于自明性來說明,也不能借助于可重復的經驗事實來檢驗。例如“凡連續函數皆可導”這一命題在很長時期中被認為是不證自明的,也可以舉出無數多個例證;但后來黎曼提出了反例,否定了它的正確性。事實上,對于涉及無窮個對象的數學命題(如哥德巴赫猜想、四色定理等)來說,驗證的次數不論如何多都是不完全的,都只是證明了或然性,而沒有證明必然性,沒有揭示出由本質根據所決定的普遍性。正因為如此,弗雷格才說:“數學的本質就在于一切能證明的都要證明,而不能通過歸納法來檢驗。”[(8)]
  9.與自然科學不同,在數學理論系統內,一個命題是否具有客觀真理性的檢驗標準是邏輯證明。自然科學中,“存在具有負能量的電子”這一認識被證實,不是在1928年狄拉克求解自由電子的相對論性波動方程,得出自由電子能量有正、負兩個解的時候,也不是在他1930年提出正電子的“空穴理論”的時候,而是在1932年布萊凱特和奧查里尼從宇宙射線中發現正、負電子對的時候。但在數學中,四色定理真理性的確立卻并不是在千萬次繪圖實踐驗證之時,而是在邏輯證明成功之日。這一證明經過一個多世紀的努力沒有完成,直到1976年才在計算機上得到實現,證明中竟然含有近100億個邏輯判定。
  10.當然,當數學是對現實世界的反映時,邏輯證明不能離開實踐獨立成為其真理性的檢驗標準。第一,數學公理是否與現實世界的空間形式和數量關系相符合,不能由邏輯證明來保證,只能由實踐辯證地證明。如前所述,數學由經驗性認識上升為理論性認識的過程,是概念、命題間建立邏輯聯系、形成嚴密的公理系統的過程,實踐使公理集具有無可懷疑的確實性,從而成為邏輯證明的正確前提。第二,邏輯證明過程中往往含有習慣因素,使邏輯嚴密性受到破壞,還可能出現操作上錯誤,這是邏輯證明本身所無法解決的,而讓邏輯證明的結論再回到實踐中接受檢驗,就可以發現這方面的問題。第三,有的數學理論在初創時期邏輯上發生困難,但作為方法在實踐中運用卻非常有效,屢試不爽。在邏輯與實踐看來發生矛盾的情況下,社會實踐作為真理標準更具有權威性,就是說不能簡單地因邏輯問題而否定在社會實踐中極其有效的理論。有時,嚴格的邏輯證明不能完成是由于原來的公理系統本身不夠完善,即數學在實踐的推動下發生了質的進步,突破了原來公理系統所能容納的范圍;而在對公理系統進行補充、調整之后,在新的框架內可以完成邏輯證明。微積分理論的情況就是如此。在微積分理論初創時期,不論是牛頓還是萊布尼茲,都無法越過從有限到無窮小量間的鴻溝。他們的證明都要依靠一個模糊的原理,即一個無窮小量既可以是一個極其微小的量,同時又可以是零。這就直接違反了最基本的邏輯規則矛盾律,問題不可謂不大。但這一方法在實踐中的巨大威力--人們普遍地進行著微分和積分,都能得到正確的結果--激起了數學家的創造活力,終于,極限概念提出來了,連續公理提出來了,經過200年的努力,微積分最后獲得了牢固的邏輯基礎。
  11.綜合上述兩方面的情況,結論便是:當數學知識是客觀世界的反映時,檢驗其客觀真理性的標準是實踐和邏輯證明的結合。實踐檢驗是對內部建立了嚴密的邏輯關系的整個數學理論系統的檢驗:如果實踐表明,數學理論與客觀事物相符合,那么,該數學理論具有客觀真理性;反之則不具有。邏輯證明是在經實踐辯證地證明了的公理集的基礎之上對其他數學命題的檢驗:如果在這樣的公理系統內,一個數學命題經證明具有邏輯真,那么,它也具有客觀真理性;反之,尚未納入數學理論系統中的那些只有實際例證而未經數學證明的命題,其普遍性、必然性得不到保證,既不具有邏輯真,也不能被看作客觀真理。
  12.在對數學知識客觀真理性的檢驗中,實踐標準與邏輯標準二者不是并列的。實踐標準是根本的,邏輯標準是輔助的、派生的,因為邏輯證明之所 以具有檢驗真理的標準的資格,也是經人類社會億萬次實踐辯證地證明了的。實際上,若把邏輯證明看作實際操作,就是一種間接的實踐檢驗,它考察的是通過個別而存在的一般,從而使證明過程等效于完全歸納,成為對所有無限多對象普遍適用的檢驗過程。
  13.但是,邏輯標準對于要求嚴格確實性的數學是不可缺少的。數學理論系統已內在地包含了嚴格的邏輯關系的建立;而對尚未納入理論系統的新數學命題來說,只有邏輯證明才能給出其具有客觀真理性的本質依據。80年代初,陶德麟先生曾在一篇文章中批判數學推導能證明數學定理是真理的觀點。他在文章中強調,“數學推導所證明的,只是數學概念之間的邏輯聯系,公理和定理之間以及定理和定理之間的邏輯聯系。至于這些概念、公理、定理與客觀世界的客體(或關系)是否符合,即是否真理,數學推導是沒有證明、也不能證明的。”[(9)](著重號系原文所有)他問道,作為原始論據的公理本身是否與客觀現實符合,推導所遵循的邏輯規則本身是否普遍有效,尚且不能證明,它又怎么能證明由公理推導出來的定理是否與客觀現實符合呢?他還舉出愛因斯坦關于“‘真實’的概念與純幾何學論點不相符”的話來作說明。筆者認為,當數學是客觀現實的反映時,推導總是在公理、邏輯規則已經得到實踐證明的前提下進行的。我們提出要把邏輯標準與實踐標準結合起來,在這種情況下,陶先生反駁邏輯標準的理由不能成立。關于推導能否證明定理是否符合客觀實際,且看馬克思主義哲學創始人是怎樣說的。恩格斯指出:“如果我們有正確的前提,并且把思維規律正確地運用于這些前提,那么結果必定與現實相符。”[(10)]這也就回答了陶先生的問題。反過來,筆者也想問一問,實踐檢驗的普遍性從何而來?人類已經進行過的實踐總是有限的,有限的實踐中如何能證明認識與無限的客觀對象是普遍地符合的呢?沒有邏輯是做不到的。至于陶先生文中所引用的愛因斯坦關于“幾何學并不涉及其中所包含的觀念與經驗客體之間的關系”等語,也不能作為否定邏輯標準的證詞。因為正如愛因斯坦所說,他指的是純幾何學,在那里任何經驗內容都被撇開,點、線、面等都只是純粹的符號;其中的公理也不需要經過實踐檢驗,因為它無實際內容,無從檢驗。而我們現在是討論那種作為現實世界的反映的數學。至于純幾何學,我們后面將要談到。
  14.非歐幾何的創立及其被承認,又一次給數學的發展帶來重大轉機。人們發現,由企圖證明歐氏幾何第五公設未能成功而導出的非歐幾何,雖然其中的定理與歐氏幾何完全相左,與人們的直觀完全違背,卻能象歐氏幾何一樣在邏輯上相容。人們還發現,歐氏幾何與之相符的人們日常接觸的空間(歐氏空間),并非客觀世界中唯一真實的空間,某些非歐空間也是客觀存在的。如果說,自然科學的發展揭示了其他天體上與地球上存在著一致的物理運動規律,那么,數學的發展則表明,宇宙中存在著數學結構不一致的現實世界,其中的真理也是不一致的。于是,數學理論客觀真理性的適用范圍就被限制在具有某種數學結構的現實世界(該數學理論的現實原型)之中。其稱為真理,也只是關于這個特定世界的真理;離開了這個特定世界,它就不是放之四海而皆準的。例如,歐氏幾何是歐氏空間的真理,黎曼幾何是黎曼空間的真理,等等。
  15.非歐幾何的創立還帶來了數學研究方法的革新,使得濫觴于歐氏幾何的公理方法成為數學研究的一個基本方法。現代數學中公理方法的進一步發展,使人們可以研究各種可能的數學結構,而這些結構在被研究時可能并沒有現實原型。這樣一來,對數學理論的真理性及其檢驗標準問題就必須重新加以認識。對現代數學來說,可以把真理性劃分為模式真理性與現實真理性兩個層次。[(11)]所謂模式真理性,指的是公理系統具備無矛盾性,或命題具有邏輯真。所謂現實真理性,是指數學內容與客觀現實事物相符合。
  16.對于未找到現實原型的公理系統來說,暫時還說不上現實真理性的問題。這樣的公理系統是由數學家按一定要求“自由”構造出來的,但是一經構造成功,它就成為獨立于人的意識的客觀信息,即波普爾的世界3。然而,與世界3中的科學知識又不同,這種公理系統不是外界客體在我們意識中的映象。作為對“可能世界”的反映,它們是現實世界折射的結果,而在現實世界中暫時還沒有發現其對應物。但這樣一種理論系統,通過理論向方法的轉化,可成為一種供人們選用的工具--信息工具。如同實物工具有自身規律,可成為人們認識對象一樣,公理系統作為信息工具也有自身規律,可以成為人們的認識對象。這就好比奕棋,棋的規則是人制訂的,但一經固定下來,各種死活棋的定式等就是不依人的意志為轉移的。對公理系統自身規律認識的結果,得到的就是模式真理。
  17.檢驗模式真理的標準是什么?是邏輯證明。雖然公理系統的直接的相容性證明,在邏輯上是一種不可能性證明,但是,數學上檢驗一個公理系統是否相容,還是依靠邏輯證明:或者是使用解釋法進行相對相容性證明,即在已被認為是相容的公理系統內為待檢驗的公理系統建立模型,用模型的相容性來證明待檢驗系統的相容性;或者是推廣元理論中所使用的推理工具,進行直接相容性證明。
  18.對于存在著現實原型的公理系統來說,既存在模式真理性問題,也存在現實真理性問題。也有的原來未發現現實原型的數學理論,后來找到了現實原型,即它們作為工具找到了“用武之地”,于是,作為研究對象的可能結構轉化為現實結構,數學理論也就具備了現實真理性。這樣的事已經不止一次地發生了。例如,黎曼幾何是1854年黎曼在研究非歐幾何體系時,發展前人理論研究成果而創立的,其中任何兩條直線只要延長到足夠遠就可相交,所有直線都是無界的,但其長度卻是有限的。這同人們日常接觸的空間當然不一致,當時也沒有現實原型。但是愛因斯坦1915年創立的廣義相對論中度規不均勻的彎曲空間恰好可以用黎曼幾何來加以描述,而廣義相對論已得到實驗的驗證。又如,1858年開萊創造了矩陣算法,1925年這一算法被海森伯作為工具用在量子力學中。再如,元限維的希爾伯特空間也在量子力學中找到自己的現實原型--所有物理上有意義的德布羅意波函數所形成的矢量空間。在這些情況下,我們當然應該認為數學理論也是對現實世界數學結構的反映,具有現實真理性。
  19.這種反映的途徑與通常“從生動的直觀到抽象的思維”[(12)]那樣一種認識途徑不同,它從考察可能的世界開始,而這種可能世界是人無法感知的,因為它當下并不存在于人的認識范圍之內,甚至根本不是物質存在,只是信息。現實原型的發現是在映象產生以后,即反映是超前的。超前反映之所以能實現,是由于這種公理系統其實并不是幻想出來的,乃是數學家受到某些數學事實的啟發而構造出來的,我們也可以把它看作數學上的“假說”,它有待證實,即找到自己的現實原型。
  20.值得注意的是,公理系統的現實真理性是對整個系統而言的。檢驗一個公理系統是否與它所反映的客觀現實相符合,或者檢驗一個現實結構是否一個公理系統的原型,標準是什么呢?只能是實踐。當公理系統在某個現實領域的研究中成為有力的數學工具時,這個領域的數學結構自然就成為這個公理系統的現實原型,這個公理系統自然也就具有現實真理性。顯然,這種具有現實原型的公理系統兼有科學與技術的雙重性質,既是對客觀世界的反映,又是改造客觀世界的工具。
  21.至于象希爾伯特在《幾何基礎》中所建立的形式公理幾何學(純幾何學)那樣的形式系統,因為它撇開了具體內容,所以我們只能考察其模式真理性。模式真理性并不等于現實真理性。但形式系統可以有多種解釋(即模型),而具有內容的模型如果存在現實原型,那么現實真理性的問題也就產生了。  
  22.現代數學的發展,使數學有可能暫時離開客觀現實的結構而研究可能的結構,有可能暫時只關注模式真理性而不管現實真理性,但是這并非它的最終歸宿。數學總是要以反映客觀現實為目的的,實踐在檢驗數學中的作用也是不可取消的。不久前,李浙生先生著文認為,現代數學的真理性是以邏輯上的真取代主客觀相符合的真,檢驗數學真理的標準不再是實踐,而是邏輯上的相容性。文中論證說,“邏輯聯系由于已經排除了主觀成份,自然是很客觀的”,“邏輯上的真是由前提推演出來的,對于任何人來說都是同等的真的”。[(13)]筆者在此不想對李先生的觀點作詳細評論,只想指出,他的論證不能成立。首先,客觀真理就是主客觀的一致。沒有主觀,認識從何談起?如果說脫離了經驗就是排除了認識內容中的主觀成份,那么,自然科學、社會科學的客觀性不就根本不能實現了嗎?其次,哲學家們可以有不同的真理觀,但真理只有一個,檢驗真理的標準也不以哲學家的解釋為轉移。反過來,人們對邏輯真的理解也不是絕對相同的。排中律真不真?古典邏輯認為它是真的,而直覺主義者認為它既非“真”,也非“不真”,而只是“不假”的。
  23.總之,雖然由于現代數學的發展,數學的真理性可劃分為模式真理性和現實真理性兩個層次,但作為檢驗標準,仍然是實踐標準和邏輯標準的結合。
  (1) 《馬克思恩格斯選集》第3卷,第77頁。
  (2)(5)(6) 恩格斯《自然辯證法》人民出版社1971年版,第245頁、192頁、235頁。
  (3) 丹皮爾《科學史》商務印書館1979年版,第84頁。
  (4) 《馬克思恩格斯選集》第4卷,第222頁。
  (7) 馬克思《數學手稿》人民出版社1975年版,第31頁。
  (8) 《The foundations of aritmetic》,Oxford,1950,第2頁。
  (9) 《哲學研究》1981年第1期,第28頁。
  (10) 《馬克思恩格斯全集》第20卷,第661頁。
  (11) 徐利治、鄭毓信《略論數學真理及真理性程度》(《自然辯證法研究》1988年第1期)。
  (12) 《列寧全集》第38卷,第181頁。
  (13) 《自然辯證法研究》1993年第6期,第37頁。
      [作者單位 安徽省社會科學院哲學所](責任編輯 慶躍先)
  
  
  
江淮論壇合肥022-027B2自然辯證法王利耀19951995 作者:江淮論壇合肥022-027B2自然辯證法王利耀19951995
2013-09-10 21:48

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