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    歷史思潮 >>> 史地研究雜志方面文獻收集(一)
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  中圖分類號:B81 文獻標識碼:A 文章編號:1671-0924(2006)10-0005-06
  B3R137.JPG  
  1 邏輯的產生與發展
  邏輯的歷史源遠流長,在歐洲可以追溯到古希臘時代。兩千多年前,古希臘思想家亞里士多德(Aristotle公元前384—公元前322年)建立了歷史上第一個邏輯體系,創立了邏輯這門學科。
  公元前6世紀—公元前4世紀是古希臘思想爭論的時代。這個時期古希臘在3個領域里發生了激烈的思想爭論:
  倫理學和形而上學等哲學爭論:如“萬物的本原”之爭;
  數學的爭論:如“無理數”之辯;
  政治的和法庭的辯論:如普羅達哥拉斯等智者之辯。
  在思想爭論中,涌現了一大批“言論上競爭的行家里手”(柏拉圖語),如普羅達哥拉斯等,人們稱他們為“智者”。正如黑格爾所言:這些智者“對任何事物,即使最壞或最無理的事物,也能說出一些好的理由”,他們“可以替一切東西辯護,但同時也可以反對一切東西”[1],他們“以任意的方式,……或者將一個真的道理否定了,弄得動搖了,或者將一個虛假的道理弄得非常動聽,好像真的一樣”[2]。這些智者就如我國春秋戰國時期的辯者一樣,“好治怪說,玩奇辭,然而其持之有故,其言之成理,足以欺惑愚眾。”(荀子語)①如芝諾悖論:“阿基里斯追不上烏龜。”如普羅達哥拉斯的“半費之訟”:普羅達哥拉斯與歐提勒士之辯。思想的爭論尤其是智者的論辯,自然引發人們對思想爭論中的論證和論辯的是非與對錯問題的思考。邏輯正是為了滿足當時的思想爭論的需要發展起來的,是在這個時代的思想的自我反思基礎之上發展而來的。人們發現一個論證或論辯有兩個方面的是非與對錯問題:其一,前提是否真實,是否可接受或無可爭議,即前提的對錯問題;其二,結論是否由前提必然地得出,即推理的對錯問題。
  亞里士多德區分了前提的對錯問題和推理的對錯問題。他認為一個論證需要解決這兩個方面的問題,這兩個問題不可相互替代,不可相互歸約。他以三段論推理為研究對象,探討三段論推理的對錯問題,研究三段論“從前提必然地得出結論”的推理規則與方式,建立了歷史上第一個邏輯體系——三段論系統,創立了邏輯這門學科。亞里士多德指出:
  “一個三段論是一種言辭表述,在這種表述中,有些東西被規定下來,由于它們是這樣,必然得出另外一些不同的東西。”[3]22“證明的前提不同于論辯的前提,因為證明的前提是對兩個矛盾陳述之一的斷定(證明者不問其前提,而是規定它),而論辯的前提取決于對方在兩個矛盾之間的選擇。”[3]24“前提的不同對于在這兩種情況下產生三段論是沒有區別的,因為證明者和論辯者在陳述了一種東西屬于或不屬于另外一種東西之后,都以三段論的方式進行論證。”[3]25正是在這個意義上說,在亞里士多德看來“邏輯是研究有效推理的規則的”[4]。
  18世紀初,德國數學家萊布尼茲(C. W. Leibniz)沿著亞里士多德的道路,“企圖建立一種‘通用代數’(spécieuse générale),在其中,一切推理的正確性將化歸于計算。它同時又將是通用語言,但卻和目前現有的一切語言完全不同;其中的字母和字將由推理來決定;除去事實的錯誤以外,所有的錯誤將只由于計算失誤而來”。②萊布尼茲“通用語言”和“推理演算”的思想,為邏輯的現代發展奠定了重要的基礎。不管其后的邏輯學家們有沒有看過萊氏的著作,知道不知道萊氏的計劃,但所作的研究大體上都是沿著萊氏所期望的方向進行的。19世紀中葉以后,英國數學家布爾(G.Boole)、德國邏輯學家弗雷格(G.Frege)、英國哲學家羅素(B.Russell)等人,在符號語言和演算思想的基礎上發展邏輯,完成了萊布尼茲想做而尚未進行的工作。自此以后,邏輯有了新的鞏固的基礎,并且自由自在地向各個方向迅速發展。今天,它越過邏輯的疆域而擴展到一切知識領域和理論領域,成為這些領域里不可或缺的思想工具。
  2 邏輯的批判性
  邏輯是關于思想一致性或推理必然性的學問。它告誡人們這樣一些邏輯的基本法則:思想自身具有確定性、一致性或無矛盾性是從這些思想可以必然地得出結論的先決條件;而結論可以從前提必然地得出即論證具有充分性是論題證立或論證成立的必要條件。正如金岳霖所言:“思議底限制,就是矛盾,是矛盾的就是不可思議的”,“矛盾不排除,思議根本就不可能”[5]。
  思想的確定性、一致性或無矛盾性以及推論的必然性和論證的充分性就是思想應當具有的邏輯性。正如金岳霖所言:“積極地說,邏輯就是‘必然’;消極地說,它是取消矛盾。”[6]516-517邏輯性是思想的生命所在。思想能否站得住、能否成立,這首先是由其是否具有邏輯性來決定的。沒有邏輯性的思想是站不住的,是不能成立的。邏輯建立起來的規則或要求是評價思想是否具有的邏輯性的標準和尺度。“它是思想的剪刀,……它排除與它的標準相反的思想。”[7]259那些沒有邏輯性或不合邏輯性的思想都會“由于觸到邏輯這塊礁石而沉沒”[6]442。
  邏輯是在思想爭論的沃土上產生的,是為了滿足思想爭論的需要發展起來的,是作為思想爭論的工具發展而來的。因此,邏輯從一開始,就具有批判品格,負有批判的使命,持有批判的傳統。邏輯批判是對思想的邏輯性的批判性考察。一切思想體系或理論體系都可以成為邏輯批判的對象。任何思想體系或理論體系都由觀點或主張、前提或依據以及推論或論證3個部分組成。因此,邏輯批判可以分為以下3個部分:其一,對某種觀點或主張的邏輯批判;其二,對前提或依據的邏輯批判;其三,對推論或論證的邏輯批判。
  對思想或理論觀點的邏輯批判,就是盤詰思想或理論觀點在邏輯上的合理性,就是考察觀點或主張是否包含邏輯矛盾或者從中是否可以導出邏輯矛盾,就是追問思想或理論觀點自身的確定性、一致性或無矛盾性。不一致的、自相矛盾的思想或從中可以導出邏輯矛盾的思想是不能成立的。
  對前提或依據的邏輯批判,就是追問前提或依據在邏輯上的合理性或可能性,就是考察前提或依據是否包含邏輯矛盾或者從中是否可以導出邏輯矛盾,就是追問思想依據或理論前提自身的確定性、一致性或無矛盾性。不一致的、自相矛盾的前提或從中可以導出邏輯矛盾的前提是不能成立的。前提是整個思想或理論體系的基石。對思想依據或理論前提的邏輯批判,是對思想或理論體系的根底、始基或基礎的盤詰。一旦理論的基石發生動搖,整個理論大廈就會隨之而倒塌。正如笛卡爾所言:“拆掉基礎就必然引起大廈的其余部分隨之而倒塌,所以我首先將從我的全部舊見解所根據的那些原則下手。”[8]因此,可以通過對思想或理論前提的邏輯批判達到對思想或理論體系的批判。一旦能確認某個思想或理論的前提不能成立,就能確認相應的思想或理論體系因缺乏確實的依據或前提而不必然成立。
  對推論或論證的邏輯批判,就是考察推論是否具有必然性、論證是否具有充分性,就是追問前提與結論之間、論據與論題之間是否具有邏輯上的必然聯系,就是追問結論是否必然得出、論題是否得到充分論證,就是追問從前提或論據得出的結論是否具有排他性或惟一性。倘若能確認某個推論不能成立,就能確認相應的推論結論不必然成立。倘若能確認某個論證不能成立,就能確認相應的論題未得到充分的論證而不必然成立。
  邏輯理性不是惟一的理性,這是因為,除了邏輯理性之外,還有實踐理性和價值理性。具有邏輯理性也不是惟一的理性要求,這是因為,除了邏輯理性的要求之外,還有實踐理性和價值理性的要求。但是,邏輯理性是一切理性的底線,具有邏輯理性是實踐理性和價值理性的內在要求。正如卡多佐(B.N.Cardozo)大法官所言:邏輯“并不因為它并非至善就不再是一種善了。霍姆斯在一句現已成經典的話中曾告訴我們:‘法律的生命一直并非邏輯,法律的生命一直是經驗。’但是,霍姆斯并沒有告訴我們當經驗沉默無語時應當忽視邏輯。除非有某些足夠的理由(通常是某些歷史、習慣、政策或正義的考慮因素),……如果沒有這樣一個理由,那么我就必須符合邏輯,就如同我必須不偏不倚一樣,并且要以邏輯這一類東西作為基礎。”[9]
  邏輯批判不是惟一的理性批判,也不是全部的理性批判。這是因為,除了邏輯批判之外,還有實踐批判和價值批判。應當指出的是,雖然邏輯批判既不如實踐批判那樣直觀,也不像價值批判那樣充滿激情。但是,只有經得起邏輯批判,才有實踐批判和價值批判之可能和必要。因此,應當把邏輯批判作為實踐批判和價值批判的基礎和前提,在對思想進行實踐批判和價值批判之前,首先對思想進行邏輯批判。
  3 邏輯批判的理論和實踐意義
  萊布尼茨指出:“阿爾諾在他的《思維術》中發表了如下的意見:人們不易發生形式上的錯誤,而錯誤幾乎完全是內容的問題。但我看實際上不是這回事,惠根斯先生同我的看法一致,他認為,一般數學錯誤(例如“悖論”)就是由于人們不注意形式而產生的。”[10]事實正如萊布尼茨所言,人們不但在數學領域不斷發生邏輯錯誤,而且在哲學、法律、政治領域也不斷犯邏輯錯誤。羅素說得好:“邏輯上的錯誤具有比許多人所想象更大的實踐重要性;這些錯誤使得犯錯誤的人們能夠在每個題目都依次輕松發表意見。”[11]某些領域所發生的邏輯錯誤甚至可能會給人們帶來極大的危害和災難。因此,對思想進行邏輯批判不但是可能的和現實的,而且是應當的。
  通過邏輯批判,“徹底澄清或消除含混、模糊或無意義的思想”[6]46,揭露思想或理論中的邏輯錯誤,遏制人們激情的泛濫和價值的瘋狂,使人們對直覺與本能保持應有的警惕,對任何思想和理論保持應有的清醒和冷靜。更為重要的是,邏輯批判的每一次重大的盤詰與質疑,都可能為確立新的觀念與建立新的理論掃清了障礙,為開辟新的領域和進入新的境界鋪平了道路。事實上也正是如此。在人類歷史長河中,每一次重大的邏輯批判,都帶來了人類思想和觀念的深刻革命,促成了理論發生根本性的轉折,促進了人類知識的重大創新和發展。
  古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派不但深信數的和諧與數是萬物的本原,而且相信宇宙間的一切現象都能歸結為整數與整數之比。這種信條的基礎便是宇宙間的一切數或量都能歸結為整數與整數之比,即都能用有理數來表示。
  公元前400年,希帕索斯(Hippasus)對此觀點進行了批判。他指出:如果任何數或量都是有理數,都可以歸結為整數與整數之比,那么等腰直角三角形的直角邊與斜邊之比這個量即2的算術平方根也是有理數,也可以歸結為整數與整數之比。假設2的算術平方根是有理數,即有兩個整數m和n,它們是互素的,使得m[2]/n[2]=2或m[2]=2n[2],由此可以推出m[2]必是偶數,所以m也是偶數。因為一個平方數不能有任何一個這樣的素因子,它不是此平方數的因子,而平方數卻是這個因子的平方。但是,如果m是偶數,則n必定是奇數。因為根據原來的假設,它們是互素的。假定m=2k,則2n[2]=4k[2]或者n[2]=2k[2]。由此可以推出n[2]必是偶數,所以n必是偶數。這是一個邏輯矛盾。因此,上述觀點是不能成立的。
  希帕索斯從畢達哥拉斯學派的觀點導出了邏輯矛盾,從而推翻了畢達哥拉斯學派的觀點。希帕索斯對畢達哥拉斯學派信條的基礎的邏輯批判導致了數學的新發現。
  法國著名數學家、經濟學家阿羅(K.Arrow)在20世紀60年代出版的《社會選擇與個人價值》一書中認為:在一個民主社會里,社會選擇有兩種基本方法。其一,是用于政治決策的“投票”;其二,是用于經濟決策的“市場機制”。社會選擇涉及的問題十分廣泛,諸如法院的最后裁決、國家政策的制定、議會的表決、市場經營策略的制定、系統備選方案的篩選等等。阿羅根據人們普遍承認的、那些直觀的或樸素的民主與合理性觀念,提煉了任何社會選擇至少應當滿足的4條公理:其一,廣泛性公理。每一個社會成員對備選對象的選擇只需滿足完全性和傳遞性。完全性指每一個社會成員可以對任何兩個備選對象進行比較;傳遞性指在一個選擇中,如果A>B且B>C,則A>C。其二,一致性公理。如果每個社會成員都認為備選對象X優于Y,則社會也應認為X優于Y。其三,獨立性公理。社會對部分備選對象的選擇只由各個社會成員對該部分備選對象的選擇所確定。其四,非獨裁性公理。社會選擇必須保證不存在這樣的獨裁者,他可以無視其他社會成員對備選對象的選擇而獨斷專行,社會的最后選擇始終由他說了算。阿羅證明了如下結論:當備選對象多于或等于3個,并且社會成員至少有2個時,上述4條公理是相互矛盾的、不一致的,不存在任何社會選擇規則能同時滿足以上4條公理。這就是著名的“阿羅不可能性定理”(亦稱為阿羅悖論)。③
  “阿羅不可能性定理”是阿羅獲得諾貝爾經濟學獎的主要成果,它不僅震動了經濟學家,而且震動了社會科學家。根據“阿羅不可能性定理”可以得出這樣的結論:由于社會成員的選擇彼此可能不一致,而難以得到多數人認可的結果,最后不得不依靠“獨裁者”的最終決斷。因此,許多人詼諧地稱“阿羅定理”為“獨裁定理”。康德森悖論或“少數服從多數”原則悖論是阿羅悖論的一個特例。康德森悖論指出:對于任何大于1的自然數n,都可以有n個命題,這n個命題放在一起是矛盾的,而這n個命題都可能被群體選擇中的多數所認可。比如,假設有3個備選對象A、B、C,由甲、乙、丙三人按“少數服從多數”原則進行投票。若甲的選擇是A>B>C,乙是B>C>A,丙是C>A>B,則A、B、C最后都被選中,且有A>B、B>C且C>A。這個結果是矛盾的,但它卻是按“少數服從多數”原則進行投票的結果。這意味著,在社會選擇中,即使某個群體中的每一個成員所作的選擇始終沒有矛盾,以“少數服從多數”原則確立的群體選擇,不能保證不出現邏輯矛盾。阿羅定理是對樸素的民主與合理性觀念的一個邏輯批判。阿羅定理揭示了樸素的民主與合理性觀念自身包含有邏輯矛盾,從而確認了這些民主與合理性觀念是不能都成立的。阿羅悖論的發現更新了人們關于民主與合理性的觀念。
  “以事實為根據,以法律為準繩”這個法律原則或法律觀念的價值取向是:決不冤枉一個好人,也決不放過一個壞人。④倘若有一些證據但僅憑這些證據又不足以認定某人有罪時,某人的法律地位如何呢?如果認定該人有罪而作出有罪判決,就有可能冤枉了一個好人,沒有做到保障無罪的人不受刑事追究;如果認定該人無罪而作出無罪判決,就有可能放過了一個壞人,沒有做到懲罚犯罪分子。這個結果表明“決不冤枉一個好人”與“決不放過一個壞人”這兩個價值取向是不可兼得的,是不一致的、相互矛盾的。上述邏輯分析揭示了樸素的法律價值觀念自身所包含的矛盾,確認了上述法律價值取向是不能都成立的。對這種樸素的法律價值觀念的邏輯批判促成了我國“無罪推定”與“疑罪從無”法律原則的確立。
  斯賓莎諾是17世紀偉大的啟蒙思想家,他有兩個著名的觀點和論證:個人應當服從國家的法律,這是由于事實上個人的力量遠遠小于國家的力量,個人不可能不服從;人的思想和言論之所以應該有自由,乃是在于事實上人的思想和言論不可能不自由。⑤
  應當指出,“個人的力量遠遠小于國家的力量,個人不可能不服從”與“人的思想和言論不可能不自由”這是兩個事實判斷;“個人應當服從國家的法律”與“人的思想和言論應該有自由”這是兩個價值判斷。事實判斷是對事實即客觀事物情況的陳述,也稱為描述性陳述(descriptive statement);價值判斷是對客觀事物對象和情況的主觀評價和規范,也稱為規范性陳述(prescriptive statement)。事實判斷有事實上的真假問題,其陳述符合客觀事實為真,不符合客觀事實者為假;價值判斷不存在事實上的真與假的問題,只有妥當還是不妥當、合理還是不合理、可取還是不可取、贊成還是不贊成的問題。事實判斷的真假取決于人們基于自然規律進行的經驗觀察或實驗。自然規律如自由落體規律是不可能被違反的,是沒有反例的。價值判斷的當與不當取決于人們基于價值準則或價值規范進行的主觀評判。價值準則或價值規范,如法律規范和道德規范,是可能被違反的,是可能有反例的。事實判斷與價值判斷是兩種性質不同的判斷。在這兩種判斷之間并無任何邏輯推導關系,不能從“是”(What it is)必然推出“應當”(What it ought to be)。比如從“資本家剝削工人”不能必然推出“資本家應當剝削工人”,也不能必然推出“資本家不應當剝削工人”。斯賓諾莎把事實和價值這兩個本來互不相同的問題混為一談,并以“個人的力量遠遠小于國家的力量,個人不可能不服從”這個事實判斷為據,推論出“個人應當服從國家的法律”這個價值判斷;以“人的思想和言論不可能不自由”這個事實判斷為由,論證“人的思想和言論應該有自由”這個價值判斷。因此,雖然斯賓諾莎的觀點也許有其合理性或正當性,但是他基于前提所作的推論、對其觀點所作的論證,卻經不起邏輯的分析和批判,是不必然的、不充分的,因而是不能成立的。斯賓諾莎不是第一個也不是最后一個把事實和價值混為一談的人,在黑格爾的著名命題“凡現實的都是合理的,凡合理的都是現實的”中,可以清晰地看到斯賓諾莎命題的影子。對斯賓諾莎學說的邏輯批判促進了事實理性、邏輯理性、價值理性空間的重建。
  18世紀英國哲學家休謨(Hume)在其著作《人類理解研究》中說道:“我們在巡行各個圖書館時,將有如何大的破壞呢?我們如果在手里拿起一本書來,例如神學書或經驗哲學書,那我們就可以問,其中包含著數和量方面的任何抽象推論么?沒有。其中包含著關于實在事實和存在的任何經驗的推論么?沒有。那么我們就可以把它投在烈火里,因為它所包含的沒有別的,只有詭辯和幻想。”[12]145在休謨看來,人類理性(或研究)的一切對象只有兩種,就是數和量的觀念的關系(Relations of Ideas)和實際的事情(Matters of Fact)。對于數和量的觀念的關系,只須抽象推論或先驗的推論,“只憑思想作用,就可以把它們發現出來,并不必依據于在宇宙中任何地方存在的任何東西。自然中縱然沒有一個圓或三角形,而歐幾里德(Euclid)所解證出的真理也會永久保持其確實性和明白性。……”[12]26“至于人類理性的第二對象——實際的事情——就不能在同一方式下來考究”[12]27。人們是如何考究實際的事情的?休謨認為,關于實際事情的一切推論似乎都是建立在因果關系之上的。這是關于實際事情的一切推論的本性。在這里,我們總是假設,在現在的事實和由此推得的事實之間必然有一種關系。憑借這種關系,我們就可以超出我們的記憶和感官的論據之外。因果關系的知識又是如何得到的呢?休謨認為,這種因果關系的知識在任何例證下都不是由先驗的推論或抽象推論得來的,乃是憑借于經驗才為我們知曉的。我們關于因果關系所有的一切推論和結論,其基礎在于經驗。休謨揭示了我們關于實際事情的一切推論都是建立在因果關系之上的,我們關于那個因果關系所有的知識都是從經驗來的。休謨的追問和解答并未就此終結。休謨追根究底又來問道:“由經驗而得的一切結論其基礎何在?……說到過去的經驗那我們不能不承認,它所給我們的直接的確定的報告,只限于我們所認識的那些物象和認識發生時的那個時期。但是這個經驗為什么可以擴展到將來?”[12]32休謨指出,如果說它是根據經驗的,我們可以用實在存在方面的論證來證明這一點,那就是把未決的問題引來作為論證,把正在爭論中的事情先已認為當然的了,就是來回轉圈了。因為根據經驗而來的一切推斷,都已假設將來和過去相似、“將來定和過去相契”、過去可以擴展到將來,這個假設正是那些推斷的基礎。
  休謨的邏輯分析和批判表明,以經驗為由不能充分論證經驗可以擴展到將來。“我們縱然承認,事物的途徑最有規則不過,但是我們如果沒有一種新的論證和推斷,單單這種規則性自身并不能證明那種途徑將來仍繼續有規則。你縱然妄說,你根據過去的經驗,知道了物體的本性,那也是白費的。”[12]37休謨的邏輯分析與批判,為人們留下了偉大的休謨疑難:“由經驗而得的一切結論其基礎何在?”“經驗為什么可以擴展到將來?”休謨的疑難把人們從教條主義和獨斷主義甜蜜的睡夢中喚醒過來。
  正如羅素所言:“數學是這樣的一種研究,它可以按兩個方向去進行。一個比較熟悉的方向是建設性的,即不斷增大理論的復雜性,……;另一個是不很熟悉的方向,這就是通過分析達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性,這里所考慮的已不再是從怎樣的假設出發可以定義或演繹出什么結果的問題,而是研究我們能否找到更一般的思想原則,從這些思想和原則出發,能使現在作為出發點的東西得以被定義或演繹出來。”⑥
  19世紀后期德國數學家康托(Cantor)建立了集合論。正是他企圖以集合論為基礎來重建數學大廈。康托的愿望實現了。到19世紀末,集合論被成功地運用到數學的各個分支,集合論已成為整個數學的基礎和支柱。集合論是研究集合的性質和關系的理論。集合論的初始概念是“集合”和“屬于”。所謂集合,就是人們在直覺和思維中能加以綜合概括的、任意確定的、能與其它事物相區別的對象匯總在一起所得的整體。可以用S表示集合;用。a,b,c,…表示對象(或元素);用符號∈表示屬于。當a是集合S的元素時,就稱a屬于S,記作a∈S。可以用外延的方法表示一個集合,即將集合的元素全部置于括號之中;也可以用內涵的方法表示一個集合,即寫出集合元素所具有的某種屬性,表示集合由具有某種屬性的元素組成。如S={x|ψ(x)}表示集合S由具有屬性ψ的元素x組成。集合論的前提就是集合論的一些基本原則或公理,其中之一是概括原則。概括原則(comprehension axiom)是指每一性質或條件決定一個集合。即任意給出一個性質或條件ψ,存在一個集合S,它的元素恰好是具有性質ψ或滿足條件ψ的那樣一些對象。有了這些初始概念和基本原則,就可以展開康托全部的集合理論了。康托集合論的概念是一些最普遍的概念,也是一些最為直觀明了的概念。正因為如此,法國數學家彭加勒(H.Poincaré)于1900年在巴黎召開的國際數學家大會上宣稱:現在我們可以說,數學的基礎終于找到了,數學的嚴格性已經實現了。
  1902年,英國邏輯學家、哲學家羅素(B.Russell)對康托集合論的基本原則進行了批判性考察。他發現康托集合論的前提包含有邏輯悖論或者說從康托集合論的前提可以導出邏輯悖論,因而康托集合論的前提是矛盾的、不一致的。羅素把集合分為兩種:一種是不把自身作為元素的集合,稱為正常集,如桌子的集合不是桌子集合的元素,因而,桌子的集合是一個正常集;另一種是把自己作為元素的集合,成為非正常集,如概念的集合也是一個概念,它是概念集合的元素,因而,概念的集合是一個非正常集。羅素在此基礎上根據康托集合論的基本原則構造了一切正常集構成的集合:
  A={X|X不屬于X}
  即A是由所有那些自己不屬于自己的集合所構成。對于任一集合X,如果X不屬于X,這個X就是A的元素;反之,若X是A的元素,則X不屬于X。羅素問:集合A是正常集還是非正常集?即A不屬于A還是A屬于A?如果A是正常集,即A不屬于A,那么A滿足集合A的條件,因而有A屬于A;如果A是非正常集,即A屬于A,那么A不滿足集合A的條件,因而有A不屬于A。因此,“A屬于A”等值于“A不屬于A”。這是一個矛盾。因為“A屬于A”與“A不屬于A”它們不可同真且不可同假,但在這里,它們同真且同假。這就是著名的羅素悖論。羅素悖論有一個通俗的說明——理發師悖論:在古希臘克利特島上有一個理發師,他聲稱只給那些自己不給自己理發的人理發。問該理發師給不給自己理發?要是他不給自己理發,按照他的店規他應給自己理發;如果他給自己理發,按照他的店規他又不能給自己理發。理發師的店規使他自己陷入了矛盾之中。
  羅素悖論清楚明晰,沒有任何可辯駁的地方,而且它牽涉的概念極少,只牽涉康托集合論的基本概念和一些基本原則。羅素悖論的發現是對康托集合論的理論前提強有力的邏輯批判。它表明康托集合論的下述理論前提是不能同時成立的:
  (1)“x不屬于x”是一個條件;
  (2)概括原則,即任給一條件ψ(x)決定一集合A,即“x屬于A”等值于“x滿足ψ”;
  (3)集合為個體之一,因而x處可代以A;
  (4)P等值于B3R132.JPGP為一矛盾。
  倘若上述理論前提同時成立就會導致邏輯矛盾。由(1)、(2)有“x屬于A”等值于“x不屬于x”。由(3)用A代上式中x,得“A屬于A”等值于“A不屬于A”。由(4)知此為矛盾。
  羅素的分析和發現,揭示了康托集合論的理論前提是自相矛盾、不一致的,它動搖了康托集合論的基礎,從而動搖了整個數學大廈的基石。德國數學家、邏輯學家弗雷格對此深有感觸:對于一個科學家來說,再也沒有比這樣的事情更為不幸了。就是當他的著作將完成之際,發現他的大廈的基礎已經崩潰。在我的論作⑦即將問世之時,羅素先生的一封信,就置我于這樣的一個境地之中。更為重要的是,羅素的分析和發現動搖了我們關于數學直覺與真理的某些觀念與信念。羅素悖論的發現,“吸引了無數的老鼠也跳進了數學的深河”,導致了集合論ZFC公理系統、希爾伯特(Hilbert)方案以及數學基礎的三大學派的主張、哥德爾(GB3R138.JPGdel)不完全性定理、塔爾斯基(Tarski)形式語言真理等現代數學和現代邏輯重大成果的誕生,迎來了數學、邏輯和哲學全面發展的新時代。
  4 結束語
  上下兩千余年,邏輯批判的聲音延綿不絕,并且令人們不由自主地走近它、敬重它和感激它。這其中的主要原因恐怕就是:這嚴峻冷酷的邏輯批判的背后蘊含著無比單純而又強烈的人文關懷,這嚴密犀利的邏輯批判的深處孕育著崇高的思想自由和巨大的理論力量。這就是邏輯批判的世界,這就是邏輯批判的魅力。
  注釋:
  ①我國春秋戰國時期,辯論之風盛行,出現過與古希臘智者相似的人物——“辯者”,如鄧析、惠施、公孫龍。也出現過像古希臘一樣有名的論證,如鄧析的“兩可之說”,惠施“歷物十事”,公孫龍“白馬非馬”等。荀子這樣感嘆“辯者”:是說之難持也,而惠施、鄧析能之。其持之有故,其言之成理,足以欺惑愚眾,是惠施、鄧析也。
  ②Kneebone G T. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics. 151-152.
  ③K.J.Arrow, Social Choice and Individual Values, by Cowles Foundation of Yale University, 1963.
  ④我國刑事訴訟法第二條規定:中華人民共和國刑事訴訟法的任務,是保證準確、及時地查明犯罪事實,正確應用法律,懲罚犯罪分子,保障無罪的人不受刑事追究……。
  ⑤參見斯賓莎諾《倫理學》第4章、《神學政治論》第20章、《政治論》第8章
  ⑥B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, Printed in Great Britain by Neil & co., Ltd., Edinburgh. 1930. pp. 1-2.
  ⑦這部著作指《算術的基本規律》第二卷
重慶工學院學報5~10B3邏輯王洪20072007
邏輯批判/邏輯理性/邏輯矛盾/邏輯悖論
  criticism of logics/logic rationality/logic contradiction/logic paradox
Criticism of Logics
  WANG Hong
  (Research Institute of Logics, China University of Political Science and Law, Beijing 102249, China)
Criticism of logics is to examine the intrinsic agreement, reasoning inevitability; and demonstrative sufficiency of thinking. The requirement of logics is the bottom line of all rational requirements; criticism of logics is the basis and premise of all reasoning criticisms and it possesses important theoretical and practical significances.
邏輯批判就是考察思想內在的一致性、推理的必然性和論證的充分性,邏輯的要求是全部理性要求的底線,邏輯批判是一切理性批判的基礎和前提,邏輯批判具有重要的理論意義和實踐意義。
作者:重慶工學院學報5~10B3邏輯王洪20072007
邏輯批判/邏輯理性/邏輯矛盾/邏輯悖論
  criticism of logics/logic rationality/logic contradiction/logic paradox
2013-09-10 21:50

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