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在帶狀矩陣中,所有的非零項集中在對角線上。

  在電子工程以及計算機科學使用的常見工具中,有一種被稱為矩陣的數字組成的網格。矩陣中的數字能夠用來表示數據:例如,矩陣的行可以被用來表示溫度、氣壓與濕度。而列就能用來表示在不同地點測得的這三項數據。然而,矩陣也同樣能夠用來表示數學方程。假設表達式t+2p+3h與4t+5p+6h描述了兩個不同的包含了溫度,氣壓與濕度測量值的數學變換,它們就能被表示成一個包括[1,2,3]與[4,5,6]兩行的矩陣。兩個矩陣相乘意味著對每一列進行這兩個變換并把結果輸入到一個新的矩陣中去。在許多時間精度要求較高的工程應用中,利用矩陣相乘能夠給復雜得多的計算提供既快又好的估計。

  在一篇發表在7月13日的國家科學院院刊的論文中,麻省理工學院數學教授Gilbert Strang描述了一種新的把某種特定類型矩陣分解成幾個簡單矩陣的方式。這項成果可能對影音處理軟件有所啟示,可能對擠壓數字文件以使其占更小空間的壓縮軟件有所啟示,甚至能對操縱機械設備的系統提供幫助。

  Strang的分析被應用于所謂的帶狀矩陣上;帶狀矩陣的絕大多數項都是0;唯一的例外是矩陣中心或靠近矩陣中心的對角帶。這看起來或許像是個難以理解的性質,但卻常常具有實際意義。例如,在一些影音處理的應用中,帶狀矩陣的每一條帶可以被用來表示一個時間片段的信號。通過分析信號的局部特性,應用程序就可以增強影像或者找出并刪除多余的信息來節省內存或帶寬。

  反過來求

  由于帶狀矩陣中幾乎所有的,也許百分之九十九的,項都是0。用別的矩陣去乘它就成了一個非常高效的過程。然而當一個信號經過了處理之后,它仍不得不被重新變換回它原始的形式。這就需要乘以處理它時使用的帶狀矩陣的“逆矩陣”:如果A乘上B等于C,那么C乘上B的“逆矩陣”就會得出A。

  然而事實上,一個矩陣是帶狀的并不意味著它的逆矩陣也是帶狀的,事實上,Strang說,幾乎所有的帶狀矩陣的逆陣都是“滿”的,意即幾乎所有的項都是非零的。在信號處理應用程序中,如果恢復信號需要乘上一個“滿”的矩陣,那么帶狀矩陣提供的所有的速度優勢都將不復存在。因此,工程師們才對擁有帶狀逆陣的帶狀矩陣感興趣,然而那些是什么樣的矩陣卻并非顯而易見。

  在他的科學院院刊的那篇論文中,Strang描述了一種新的把帶狀矩陣分解成幾個簡單的,有更少條帶的矩陣的方法。判斷這些簡單矩陣是否有帶狀逆陣要更容易,而如果它們有,那他們組合起來也會有。Strang的方法因此能夠讓工程師們確定一些有前景的信號處理技術是否切實可行。

  比傅里葉更快?

  最常見的數字信號處理技術之一是離散傅立葉變換(DFT),它把一個信號分解成它的組成頻率,并表示成一個矩陣。盡管傅里葉變換的矩陣是“滿”的,Strang說,但傅里葉變換偉大之處在于,即使它是滿的,卻恰好仍舊能夠快速地做乘法或取逆。那是傅里葉變換美妙的部分,但對于某些信號處理應用來說,帶狀矩陣可以比傅里葉變換更加高效。如果我們只對信號的一部分感興趣,帶狀矩陣提供了一種集中注意力在它們身上,并忽略其余部分的方法。“傅里葉變換一次性地考察整個信號,”Strang說。“這并不總是很好的事情,因為往往信號在百分之九十九的時間里是很無聊的。”

  Richard Brualdi,威斯康星大學麥迪遜分校的名譽數學教授指出,Strang在論文中呈現的數學假設已經被其它三組研究團體證明了。“這是一個非常有趣的定理,”Brualdi說。“并已經產生了好幾篇論文,并且可能還會有更多。”Brualdi指出,龐大的數據集,如通過基因測序,醫療成像或天氣監測生成的那些,往往會產生常規結構的矩陣。帶狀是一種結構,但還有其他的,Brualdi希望數學家們把像Strang一樣的方法用到其它結構類型的矩陣中去。“不過這么做是否會起到效果,我卻真的不知道。”Brualdi說。“不過Gil(指Gilbert Strang)已經說過他會在未來的一篇論文中考察一種新的結構。”

2015-05-19 00:34

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