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業余數學牛人的數學自學心得
業余數學牛人的數學自學心得
善科問答     阅读简体中文版

  這篇文章是一個非數學專業的自學心得。作者分享了自學中的一些個人的見解,或許對很多科班數學的朋友并不適用。作者的背景:吉林大學地球科學本科,陳省身數學所碩士,約翰霍普金斯大學博士。

  在網上常看到朋友問很多有關于數學學習的問題,有數學系的,也有純自學的,許多問題我都親身經歷過。在這里就簡單說一下我的個人經驗,希望對大家有一定的借鑒作用。如果你智商非常高或者成績非常好的話,可能本文不太適合你,因為本文作者智商一般,成績也很差,應該不會想到你們想不到的東西。首先,選擇學數學,那說明這個人還是比較聰明的,至少他應該知道如何利用自己的智商,這點很重要。學習最重要的是要量力而行。掂量一下自己的分量再說。不止一次看到朋友說自己愛學微分幾何拓撲什么的,但是作為基礎的一些科目,掌握的卻不甚好,這樣就說明大家有盲目追前的弊端,其實我個人也有這個毛病的。后來遇到了一些事,才開始意識到自己的不足。建議大家讀讀華羅庚的書,個人覺得對人有極大好處,一點也不是夸的,他的學術水平暫且不提,單就作學問的哲理,第一流的。說白了。就是八個字:本固枝繁,根深葉茂。我個人看過許多傳記類的書,現在不愛看了。我相信很多朋友受它的影響很大的,總覺得應該像天才一樣思考,要學習的多么多么的快,當然也有迫于一些外界因素必須要趕緊學習的。我個人的建議是:腳踏實地,學一點是一點,盲目的超前只能使你一事無成,自毀前途,一點不是嚇唬人,我遇到的這樣的人多了。學習要穩穩的,端正自己的態度,不要看那些天才,也不要看身邊的什么什么人。不要搞革命英雄主義,成天想著:他能作到的我一定要作到。多想想為什么他能作到一件我作不到的而我做不到一件他做不到的。

  學數學重在個人見地,不在于硬和人家拼強項。端正了學習的態度(之所以第一個提它,主要是因為不光學數學,做任何學問都是如此)。然后就要問問自己:為啥學數學??你了解數學嗎??

  對兩類人的忠告

  自學的:我接觸的這些朋友比較多。每個人都說自己對數學多么的狂熱。俺說句心理話,我就看不出來數學這枯燥的東西對人能有多大的魅力。很多人我感覺是受一些外在的因素的影響,比如學數學會使人很高深等等的。尤其是最近的風氣也是對數學有利,所以迎風上。可能我的話有點尖刻。但事實就是如此!很多人對數學缺乏一些常識性的了解,僅僅看了幾篇描寫大師的作品,就聲稱自己愛數學,是很讓人痛心的,學數學,比娶個老婆還更能影響人的一生,慎之!對于這類人,我的建議是冷靜一下頭腦。偉大的學科遍地都是,犯不著在一棵樹上吊死。對于那些真正適合自學數學的人,我想好的方法一定比我還多,就用不到我羅嗦了。中國自從陳景潤之后鋪天蓋地的出來很多數學愛好者,以前我以為都是夸張,現在接觸到多了,才感覺這種浪費人才的現象真的很讓人痛心。也許很多朋友看到我這句話很不中聽,但是我覺得它是對的:數學只不過是一門學科,它沒有任何理由凌駕于其他學科之上,為人民服務,你應該選擇自己能做最大貢獻的方式!

  數學系的:這些人我認識也不少,除了一些朋友之外,多數都是被調劑到數學系的。很多人都不愛學數學,甚至有本來對數學有一定的興趣,學多了發現很難之后又不愛學的。對于這個,我的建議是:成熟一點,如果你沒有別的理想代替的話,作好你的本職工作是本分!不愛數學并不能成為你不學它的借口。難更不是理由!天底下沒有容易獲得的成績,怕苦怕難,那你什么都干不了。

  談點數學細節

  解決了這些基本的動力問題。就該好好談談細節了:

  學習需要一個過程,需要一個近期目標。我個人建議,跟著大學的進度就很合適了。盡管有各種各樣不合理的呼聲,但是大學課程的設置都是一些很有學問的人作出的,總比我們這些弱冠想的深想的遠,不能盲目的迷信權威,但是不聽從權威的建議,你走不遠的。本科課程各個學校開設的都不太一樣,有多有少,加上一些限制性,非限制性選修課就更加龐雜了。如何取舍呢?人的精力有限。但是至少我認為本科開設的所有課程,你都必須要精通。記得我們還很嫩,學的東西都是基礎,以后無論你做哪個方向的學問,你都會用到的。現在就以“人的精力有限”為理由,是懶惰的表現。

  如何獲得這些信息?一般網上就有。很多朋友不善于利用網絡資源,這個不太好,要知道,尤其是那些自學的朋友,網絡是我們和外界接觸的幾乎唯一手段。如何找它們?我不想說,因為我記得我找到那些東西一點也不費勁,自己去想。遇到問題了,多想想自己怎么解決,想不出來就再想,不要期待有人會給你直接的幫助。學什么東西都是這樣。有很多人問我如何弄參考書,我覺得這種問題自己完全可以解決的,總期待著別人給你建議,不去自己找答案,會養成惰性的。在這里我就簡單說一下:

  www.xxx.edu.cn是中國的教育機構域名格式,在www.后面加上math,一般你就會到達該學校的數學系,好好翻翻,一般在這里都能找到你想要的信息,找不到,那別的地方找到的可能性也就不大了。

  bbs.xxx.edu.cn是該大學的BBS地址,個人推薦www上站方式。去什么地方找朋友或者信息呢?全國只有北京大學和中國科技大學開設有數學研討專欄,進“學術研討”就可以了。別的大學,可以去院系一類,直接到學院版,去問一些你想問的問題,注意你提問的方式,有的時候不恰當的提問方式會讓人不愿意回答的,那里沒有人有義務給你回答問題。網上現成的問題,一般也不會有人回答的。多去精華區之類的翻翻。

  然后就是考研究生。永遠也不要指望你個人的能力有多強,溶入正規學習途徑是有成績的唯一方法。至于考哪個學校的。這就是個有學問的問題了。很多朋友抱定北京大學,其實我覺得,北京大學也不見得就是國內最好的,而且由于眾所周知的原因,競爭十分的激烈,所以不是很好的選擇。不過考試不難,我看過試題,想要的話呢,可以聯系北京大學的數學學院辦公室,或www.kaoyantj.com之類的網上,也有賣的。別的學校也差不多。不過有個特殊的就是中國科學院,它的試題網上是沒賣的,我是現跑到北京買的,查點被隔離。做一做題,感覺一下再決定報考。另外很多朋友忽視了考研的公共課。這是很不好的。

  考研究生考的可不光是數學。再有有些朋友只準備考研的幾個考試科目,那也不行!我可以很負責的告訴大家,只準備那么幾科,研究生僥幸考上了你也念不下來。選導師呢,建議選些名氣不是特別大的,名師一般不會有很多時間輔導你,所以不如找個實際點的。選擇方向要根據自己的特長,記得你最喜歡的不一定就是你擅長的。另外各個大學擅長的科目都不太一樣,不能盲目奔著名氣去。

  如何選用參考書

  然后買參考書,個人感覺,參考書純屬扯蛋,不理解為什么那么多朋友死活要買北大或某校的什么什么書爭相傳閱。所謂參考書,指的是說:我們的考試大綱基本和該書一致,一般不會超出該書程度很多。但是我遇到的多數是一些剛開始學習的朋友,給你們個建議,我一樣也迷信過參考書,但是讀完再看別的,就發現不少參考書都不太適合自行閱讀,有很多甚至可以用“爛”來形容。比如北大的高代參考書,抽代參考書,個人感覺寫的很詳細也的確不錯,但是就是不適合學習,沒什么辦法,太平淡了,從書里根本就看不出來什么新鮮的內容。看這個書有被誤導的可能。好好學習就不怕什么參考書,這是我的個人意見,因為數學這個學科和別的不太一樣有各自的特點。所以個人感覺參考書參考意義不大,尤其是對剛開始學習的人。

  當然,看參考書絕對沒壞處,www.chiuchang.com.tw/jiuzhang是中國著名的唯一一個數學專業書店九章書店的網址,小書店不錯的,海淀圖書城2樓角落里,就是不知道為啥要在臺灣弄一個主頁。現在不賺錢已經倒閉了。一般市面上的書它那都有,想要什么就去郵購,就可惜不打折:(。海淀的書都打的。再就是比較好的數學論壇,我只推薦北大的BBS,那里人氣比較好,學院那個論壇早就沒人管了,在哪基本得不到什么有用的信息。然后圖書館,這個是最重要的,很痛心很多朋友學數學卻從來不知道進圖書館。非常非常多的好書,好習題集,市面上基本都買不到了,好多都是70、80年代出版的。有些圖書館是開放的,好象我家鄉的省圖書館就是隨便進,好在數學書人看的就不多,所以也沒幾本丟的。我從高一立志要看懂那兩長排書架上的書開始學數學,現在看懂快一半了。呵呵。

  圖書館比什么都重要,一點也不假!什么樣的書好呢?從上面網上得到信息以外,你就要自己去圖書館翻,那的書不管看不看的懂我幾乎都看過,所以一般的圖書館能有什么樣的書心里就有了數,學習下一個學科的時候,肚子里就知道了不少東西,就不著慌也能很好的那派一下學習步驟。我現在手里有一打圖書證,不過學校封了很多書都沒法還就慌了我了。多看書,比對一下,為什么有的書要這么講,有的書要那么講,馬上你就能感覺到哪里有文章,哪里很俗了,好象我現在看的表示論,我看的是從GL(n)的線性群入手,但是有很多書是從G-模講的,有些英文的書直接入手從復表示,都很有想法。這就是書看多了的好處。當然了,必須有一個中心,有一本吃的非常透的(最好是名著),就是華先生說的,要有看家本領。圖書館有很多英文書!這個就是學問了。我個人覺得,研究生的書如果不看英文的簡直就是暴殄天物,GTM系列有的是好書,有些就已經很適合本科閱讀了。對了追求,偶推薦你一個:Real and Abstract Analysis。具體什么號不記得了,挺好的適合你們學測度的人看。

  數學專業英語不難,看看就會了。沒啥特殊的,只要英語說的過去一般都可以閱讀。不過大量閱讀就頭疼,不習慣啊~:)大多數圖書館的英文書都是開放初期復印的,連影印都不是。所以一般不入計算機庫,如果想知道的話,可以去ww.nlc.gov.cn, 一般你叫的出名字來的書那里都有。可以看看這本書在國內有沒有。

  想大概了解一下書的內容的,去www.loc.gov一般的好書都有點書評的。有條件的同學可以買一個超星的卡,支持正版!然后就是做題!個人感覺,做題的重要性不言而喻,至于怎么做呢?我喜歡蘇聯式的教育,就是地獄式學習法……不喜歡西方的講求對知識的理解最重要,個人認為,不做大量習題,對知識的理解根本就不可能,至少我是,因為我比較笨,領會力差。大家都聽說過田剛所謂的四年四萬道題吧。其實那是嚇唬外行的。算一算就知道每天努力學習,其實不難。

  各種數學參考書

  我知道的各個學科的習題集或參考書呢:

  數學分析, 這個不用說了,太多了,我首推機密多為期,但是這個絕對不夠,偶還推一本高教的綠皮很厚姜什么的,然后是徐利治的典型例子(圖書館),再有一本武漢大學的超大,46元,很難。另外diadonne寫過一個很好的《現代分析引論》有中譯本,是用拓撲觀點寫的很高。這幾本差不多了。

  高代, 我現在看的是復旦的,很好很難,中科大其實也有好的,好象是查建國寫的,但是買不到:(是內部講義,哪位朋友幫我弄,我感謝他。

  實變, 有個實分析的反例,挺好,真正意義上的習題集有一本蘇聯人寫的,叫什么鄂強,還有華中師范出了一本,白皮,真正的習題集,適合考前沖刺(順便說一句實變挺難,這本書由于有詳細解答,其實是很不錯的,但是可別過分依賴它).

  復變,就我說的那個,不多alfors的,到現在還是經典。

  常微, 推薦一個日本人寫的,啥名忘了,全是解方程,我覺得這是基本功,必須扎實,所以推薦它,Arnold寫的一本用拓撲的角度來看常微的也很好。被我丟了……

  拓撲, 偶這里有絕版蘇聯人的習題集,超厚。推薦amstrong的那本,比北大的好很多,尤其是hausdorff空間那。

  泛函, 沒多少習題集,我這有南京工學院的一本,太簡單了只適合看一個星期。對了,泛函還有《Hilbert空間問題集》 Halmos的名著。特難,呵呵。

  抽代, 最氣人。我學的時候翻遍了我能去的所有的圖書館,沒有習題集,我看了幾乎所有的抽代教材,勉強算是看完了北大的大藍本。然后習題集出來了……吐血。不過挺好自己鍛煉了許多。個人認為看jacbson的basic algebra需要勇氣。Serg Lang的也不錯的說,從范疇入手。再深一點的課程就沒啥好的習題集了,好習題也不多。

  微分幾何, 多卡摸那本就完全足夠了,看完大家就會發現看陳維桓那本簡直就是在浪費時間。

  交換代數, 看北大的那個《代數學》其實就很不錯很不錯了,深入淺出又不難。另外還有GTM,扎里司機和薩莫愛爾,兩個沃爾夫獎。

  數論, 其實就是北大的大厚本最好,十分詳盡,適合打基礎。還有Hardy的名著《Introduction to The Number Theory》一本定理集!

  分析, 其實是非常非常重要的一門學科,可惜很多人不重視。所以學泛函就吃力。偶推薦陳建功。

  代數數論, 偶愛死馮可勤的那本中科院參考書了。還有潘氏(是兄弟不??)寫的那個簡單點的。

  李群, 還是北大的那個什么項武義的好了。

  實分析嘛, 偶還沒看,不過知道好書就是程民德的那本,當過幾天枕頭后來沒時間就沒看。

  偏微分, 就是偶發瘋買的那本三卷的,好書是好書,太貴了……哎,入世后就這惡果啊。

  再談數學學習方法

  關于學數學,其實我推崇古典式訓練法,在這種原則下,數學分析就變的不是特別的重要了。也許是我淺薄了吧,但是我始終覺得,反復的搞數學分析實際并沒有什么好處,它的營養是有限的,應該把眼光放長一點。和你們舉一個例子吧,現在出小學數學題,大多數人都會做全部,那你這幾年都在學小學數學嗎?那東西需要一段一段的回味提高的,悶頭就知道學數學分析沒什么出路的,這個可以肯定。

  偶推薦的幾個核心基礎課是常微、數論、微分幾何和拓撲.

  這幾門學科都很重要的說(其實哪個都很重要),但是在這些上下工夫大一點,會使你收益終生的。再有數學史,這個太重要了。我覺得一定要好好學學它。和大家舉幾個好玩的例子,大家也許就明白了一些道理。學抽象代數,環有理想,有唯一分解,域有分裂域等等的,而這些概念,最早都是來源于數論的,以前是沒有代數學這個學科的。直到伽羅華發現可解群和方程的關系才誕生,而實變函數的研究晚于復變函數,和實數與復述相反,線性代數直到19世紀末才有突破,其實是很新的學科,這些如果不知道的話,學習的時候容易本末倒置的。

  關于邊緣學科,我不喜歡那些捧著純數學鄙視經濟學或計算之類的人,因為即使是邊緣的,也是有很深的學問的。但偶不了解,就沒啥發言的權利了。 多接觸一些朋友對學習有極大的好處的他們會幫你少走不少彎路,但是走彎路是學習必不可少的過程,個人感覺,走的每一個彎路都是很有意義的。 多學習,多作題,少談些理想。

  很多人心都非常高,包括我,這是真的,但是我知道我的理想根本就實現不了。我是什么?一個普通的人而已,我能走多遠,我比誰都清楚,是有理論限制的。我曾經在夢里想過做一個多么了不起的數學家。但是這東西,就好象緣分一樣,可遇不可求的,真理大道上有偉人,更多的是倒下的無名的人士,我能做什么樣的呢?學數學,多數只是為了一個信念,就是我要學好它,盡我最大可能學到最好。如果有些高度我到達不了,那我也不會很難過,因為我有過自己的貢獻,我實現了我的人生價值,這就足夠了。像我這樣的人,不會是第一個,也不會是最后一個,多的很。眼光太高,反而容易形成急噪情緒。

  記得有一本書,忘了哪個了,說過一句話(好象是吧):

  Approach your problems from the right end and begin with the answers, then one day, perhaps you will find the final problem.

  很精辟的,送給大家。

 

2013-05-07 09:38

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